Номер 3, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что можно сказать о векторах, соответствующие координаты которых равны?

Если соответствующие координаты двух векторов равны, то такие векторы называются равными.

Равенство векторов — это фундаментальное понятие в векторной алгебре. Два вектора считаются равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление.
2. Они имеют одинаковую длину (модуль).

Введение системы координат позволяет выразить эти геометрические свойства через числа — координаты векторов.

Пусть даны два вектора, например, в трехмерном пространстве: $\vec{a}$ с координатами $\{x_a; y_a; z_a\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_b; y_b; z_b\}$.

Условие, что их соответствующие координаты равны, означает, что:
$x_a = x_b$
$y_a = y_b$
$z_a = z_b$

Это условие в точности и является определением равенства векторов в координатной форме ($\vec{a} = \vec{b}$). Выполнение этого условия автоматически гарантирует и равенство их длин, и совпадение направлений.

• Равенство длин: Длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}$. Длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = \sqrt{x_b^2 + y_b^2 + z_b^2}$. Так как $x_a=x_b, y_a=y_b, z_a=z_b$, очевидно, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
• Сонаправленность: Если координаты векторов равны, то вектор $\vec{a}$ можно представить как $\vec{b}$, умноженный на коэффициент $k=1$, то есть $\vec{a} = 1 \cdot \vec{b}$. Так как коэффициент $k=1 > 0$, векторы сонаправлены.

Таким образом, равенство соответствующих координат является необходимым и достаточным условием для равенства векторов.

Ответ: Такие векторы являются равными. Это означает, что они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.