Страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Объясните, что называют координатами данного вектора.

1. Координатами вектора в заданной системе координат называют упорядоченный набор чисел, которые однозначно определяют его направление и длину (модуль) относительно этой системы. Существует несколько эквивалентных способов их определения.

Способ 1: Через координаты начала и конца.

Если вектор задан своей начальной точкой $A(x_1, y_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2)$ на плоскости, то его координаты вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала:

$ \vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1\} $

Аналогично для трехмерного пространства с точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$:

$ \vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\} $

Пример: Для вектора с началом в точке $A(3, 1)$ и концом в точке $B(5, 6)$ координаты будут $ \vec{AB} = \{5 - 3, 6 - 1\} = \{2, 5\} $.

Способ 2: Через разложение по базисным векторам.

В прямоугольной декартовой системе координат любой вектор $ \vec{a} $ можно единственным образом представить в виде суммы, компоненты которой — это единичные векторы (орты) координатных осей, умноженные на некоторые числа. На плоскости это орты $ \vec{i}=\{1, 0\} $ (для оси Ox) и $ \vec{j}=\{0, 1\} $ (для оси Oy). Разложение вектора $ \vec{a} $ по базису имеет вид:

$ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $

В трехмерном пространстве добавляется орт $ \vec{k}=\{0, 0, 1\} $ для оси Oz:

$ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k} $

Числа $ a_x, a_y $ (и $ a_z $ в пространстве) в этом разложении и называются координатами вектора $ \vec{a} $. Они представляют собой величины проекций вектора на соответствующие координатные оси. Таким образом, запись $ \vec{a} = \{a_x, a_y\} $ эквивалентна записи $ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $.

Связь с радиус-вектором.

Если отложить любой вектор от начала координат $O(0,0)$, то его конечная точка будет иметь координаты, совпадающие с координатами самого вектора. Такой вектор, начало которого находится в начале координат, называется радиус-вектором. Это показывает, что все равные векторы (сонаправленные и имеющие равную длину) обладают одинаковыми координатами, независимо от того, где они расположены.

Ответ: Координатами вектора в данной системе координат называют коэффициенты его разложения по базисным векторам этой системы (например, числа $ a_x $ и $ a_y $ в разложении $ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $). Эквивалентно, это упорядоченный набор чисел, равный разности соответствующих координат конца и начала вектора, или же координаты конечной точки вектора, если его начало совмещено с началом координат.

2. Что можно сказать о координатах равных векторов?

Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В координатной форме это свойство выражается очень просто и однозначно.

Если два вектора $\vec{a}$ с координатами $(x_a, y_a, z_a)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_b, y_b, z_b)$ равны, то их соответствующие координаты также равны, и наоборот.

Таким образом, равенство векторов $\vec{a} = \vec{b}$ является эквивалентным выполнению системы из трех равенств (или двух, если векторы рассматриваются на плоскости):
$x_a = x_b$
$y_a = y_b$
$z_a = z_b$

Это следует из того, что координаты вектора однозначно определяют его длину (модуль) и направление в пространстве. Длина вектора $\vec{v}(x,y,z)$ вычисляется как $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, а его направление — через направляющие косинусы. Если координаты двух векторов совпадают, то и их длины, и направления будут одинаковыми, что по определению и означает равенство векторов.

Ответ: Координаты равных векторов соответственно равны. Если даны векторы $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$, то условие $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$ и $z_1 = z_2$.

3. Что можно сказать о векторах, соответствующие координаты которых равны?

Если соответствующие координаты двух векторов равны, то такие векторы называются равными.

Равенство векторов — это фундаментальное понятие в векторной алгебре. Два вектора считаются равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление.
2. Они имеют одинаковую длину (модуль).

Введение системы координат позволяет выразить эти геометрические свойства через числа — координаты векторов.

Пусть даны два вектора, например, в трехмерном пространстве: $\vec{a}$ с координатами $\{x_a; y_a; z_a\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_b; y_b; z_b\}$.

Условие, что их соответствующие координаты равны, означает, что:
$x_a = x_b$
$y_a = y_b$
$z_a = z_b$

Это условие в точности и является определением равенства векторов в координатной форме ($\vec{a} = \vec{b}$). Выполнение этого условия автоматически гарантирует и равенство их длин, и совпадение направлений.

• Равенство длин: Длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}$. Длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = \sqrt{x_b^2 + y_b^2 + z_b^2}$. Так как $x_a=x_b, y_a=y_b, z_a=z_b$, очевидно, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
• Сонаправленность: Если координаты векторов равны, то вектор $\vec{a}$ можно представить как $\vec{b}$, умноженный на коэффициент $k=1$, то есть $\vec{a} = 1 \cdot \vec{b}$. Так как коэффициент $k=1 > 0$, векторы сонаправлены.

Таким образом, равенство соответствующих координат является необходимым и достаточным условием для равенства векторов.

Ответ: Такие векторы являются равными. Это означает, что они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

4. Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

Чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начальной и конечной точек, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Рассмотрим общее правило на примере двумерного и трехмерного пространства.

Пусть дан вектор $\vec{AB}$, где точка $A$ — его начало, а точка $B$ — его конец.

Для вектора на плоскости (в 2D):
Если точка начала $A$ имеет координаты $(x_1, y_1)$, а точка конца $B$ имеет координаты $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$

Для вектора в пространстве (в 3D):
Если точка начала $A$ имеет координаты $(x_1, y_1, z_1)$, а точка конца $B$ имеет координаты $(x_2, y_2, z_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по аналогичной формуле:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

Пример:
Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, если известны координаты его начальной точки $C(2; -5)$ и конечной точки $D(-3; 4)$.
Вычитаем из координат точки $D$ (конца) соответствующие координаты точки $C$ (начала):
Первая координата: $-3 - 2 = -5$
Вторая координата: $4 - (-5) = 4 + 5 = 9$
Таким образом, вектор $\vec{CD}$ имеет координаты $(-5; 9)$.

Ответ: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2, z_2)$ его координаты равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

5. Как найти модуль вектора, если известны его координаты?

Чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны его координаты, нужно вычислить квадратный корень из суммы квадратов его координат. Этот принцип основан на теореме Пифагора и обобщается на пространства любой размерности.

Если вектор задан на плоскости (в двумерном пространстве) и имеет координаты $\vec{a} = \{x; y\}$, то его модуль, который обозначается как $|\vec{a}|$, находится по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Например, для вектора с координатами $\{3; 4\}$, его модуль будет равен $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Если вектор задан в трехмерном пространстве и имеет координаты $\vec{b} = \{x; y; z\}$, то формула для нахождения его модуля будет включать все три координаты:

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Например, для вектора с координатами $\{1; 2; -2\}$, его модуль будет равен $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

В общем случае для вектора в n-мерном пространстве с координатами $\vec{v} = \{v_1; v_2; \dots; v_n\}$ его модуль вычисляется как:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$

Таким образом, правило универсально: сложить квадраты всех координат и извлечь квадратный корень из результата.

Ответ: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Для вектора на плоскости с координатами $\{x; y\}$ его модуль вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Для вектора в пространстве с координатами $\{x; y; z\}$ его модуль вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.