Страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

418. Точки M и N – соответственно середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках A, B, C, D, M, N:

1) равные вектору $\vec{AM}$;

2) коллинеарные вектору $\vec{CD}$;

3) противоположно направленные с вектором $\vec{NC}$;

4) сонаправленные с вектором $\vec{BC}$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. Найдём векторы, с началом и концом в точках $A, B, C, D, M, N$, которые удовлетворяют заданным условиям.

1) равные вектору $\overline{AM}$

Равными называются векторы, которые сонаправлены (имеют одинаковое направление) и равны по длине (модулю).
- Так как $M$ — середина стороны $AB$, то $|\overline{AM}| = |\overline{MB}|$, и векторы $\overline{AM}$ и $\overline{MB}$ сонаправлены (направлены в одну сторону от $A$ к $B$). Следовательно, $\overline{AM} = \overline{MB}$.
- В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\overline{AB} = \overline{DC}$. Это означает, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены и равны по длине.
- Поскольку $M$ и $N$ — середины равных сторон $AB$ и $CD$, то длины отрезков $AM, MB, DN, NC$ равны между собой: $AM = MB = DN = NC$.
- Направление векторов $\overline{DN}$ и $\overline{NC}$ совпадает с направлением вектора $\overline{DC}$. Направление вектора $\overline{AM}$ совпадает с направлением вектора $\overline{AB}$. Так как $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены, то и векторы $\overline{AM}, \overline{DN}, \overline{NC}$ также сонаправлены.
Таким образом, векторы $\overline{MB}, \overline{DN}$ и $\overline{NC}$ имеют ту же длину и то же направление, что и вектор $\overline{AM}$.
Ответ: $\overline{MB}, \overline{DN}, \overline{NC}$.

2) коллинеарные вектору $\overline{CD}$

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
- Вектор $\overline{CD}$ лежит на прямой $CD$.
- В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB$ параллельна стороне $CD$.
- Следовательно, все векторы, образованные точками, лежащими на прямых $AB$ или $CD$, будут коллинеарны вектору $\overline{CD}$.
- Векторы на прямой $AB$: $\overline{AB}, \overline{BA}, \overline{AM}, \overline{MA}, \overline{MB}, \overline{BM}$.
- Векторы на прямой $CD$: $\overline{DC}, \overline{CN}, \overline{NC}, \overline{DN}, \overline{ND}$.
Ответ: $\overline{DC}, \overline{CN}, \overline{NC}, \overline{DN}, \overline{ND}, \overline{AB}, \overline{BA}, \overline{AM}, \overline{MA}, \overline{MB}, \overline{BM}$.

3) противоположно направленные с вектором $\overline{NC}$

Противоположно направленными называются коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны.
- Вектор $\overline{NC}$ направлен от точки $N$ к точке $C$. Его направление совпадает с направлением вектора $\overline{DC}$.
- Следовательно, искомые векторы должны быть направлены в противоположную сторону, то есть так же, как вектор $\overline{CD}$ (от $C$ к $D$) или сонаправленный ему вектор $\overline{BA}$ (от $B$ к $A$).
- На прямой $CD$ в сторону от $C$ к $D$ направлены векторы: $\overline{CN}, \overline{ND}, \overline{CD}$.
- На прямой $AB$ в сторону от $B$ к $A$ направлены векторы: $\overline{BA}, \overline{BM}, \overline{MA}$.
Ответ: $\overline{CN}, \overline{ND}, \overline{CD}, \overline{BA}, \overline{BM}, \overline{MA}$.

4) сонаправленные с вектором $\overline{BC}$

Сонаправленными называются коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону.
- Вектор $\overline{BC}$ направлен от $B$ к $C$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ параллельна и равна стороне $BC$, поэтому вектор $\overline{AD}$ сонаправлен с вектором $\overline{BC}$.
- Рассмотрим вектор $\overline{MN}$. По правилу многоугольника для сложения векторов: $\overline{MN} = \overline{MB} + \overline{BC} + \overline{CN}$.
- Векторы $\overline{MB}$ и $\overline{CN}$ равны по длине ($MB = CN = \frac{1}{2}AB$), лежат на параллельных прямых ($AB \parallel CD$), но противоположно направлены. Направление $\overline{MB}$ совпадает с $\overline{AB}$, а направление $\overline{CN}$ совпадает с $\overline{CD}$. Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ противоположно направлены ($\overline{AB} = -\overline{CD}$). Следовательно, $\overline{MB} = -\overline{CN}$, а их сумма равна нулевому вектору: $\overline{MB} + \overline{CN} = \overline{0}$.
- Подставив это в выражение для $\overline{MN}$, получаем: $\overline{MN} = \overline{0} + \overline{BC} = \overline{BC}$.
- Таким образом, вектор $\overline{MN}$ равен вектору $\overline{BC}$ и, следовательно, сонаправлен с ним.
Других векторов, сонаправленных с $\overline{BC}$, среди заданных точек нет.
Ответ: $\overline{AD}, \overline{MN}$.

419. Пусть $\mathring{O}$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках $A, B, C, D, \mathring{O}$:

1) равные;

2) сонаправленные;

3) противоположно направленные.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Исходя из свойств параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине ($AB \parallel DC, AD \parallel BC$ и $|AB|=|DC|, |AD|=|BC|$), а диагонали точкой пересечения делятся пополам ($|AO|=|OC|, |BO|=|OD|$). На основании этих свойств найдем искомые векторы.

1) равные

Равные векторы должны быть сонаправлены (иметь одинаковое направление) и равны по длине.
- Векторы, лежащие на противоположных сторонах параллелограмма: $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $; $ \vec{AD} $ и $ \vec{BC} $ (а также обратные им $ \vec{BA} $ и $ \vec{CD} $; $ \vec{DA} $ и $ \vec{CB} $).
- Векторы, являющиеся половинами диагоналей: $ \vec{AO} $ и $ \vec{OC} $; $ \vec{BO} $ и $ \vec{OD} $ (а также обратные им $ \vec{CO} $ и $ \vec{OA} $; $ \vec{DO} $ и $ \vec{OB} $).
Ответ: $ \vec{AB} = \vec{DC} $; $ \vec{AD} = \vec{BC} $; $ \vec{AO} = \vec{OC} $; $ \vec{BO} = \vec{OD} $.

2) сонаправленные

Сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и указывают в одном направлении. Их длины могут быть разными.
- Все пары равных векторов также являются сонаправленными, например, $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $, или $ \vec{AO} $ и $ \vec{OC} $.
- Кроме того, сонаправленными являются векторы, лежащие на одной прямой, такие как часть диагонали и вся диагональ. Например, $ \vec{AO} $ и $ \vec{AC} $, или $ \vec{BO} $ и $ \vec{BD} $.
Ответ: Примеры пар сонаправленных векторов: ($ \vec{AB} $, $ \vec{DC} $); ($ \vec{AD} $, $ \vec{BC} $); ($ \vec{AO} $, $ \vec{OC} $); ($ \vec{AO} $, $ \vec{AC} $); ($ \vec{BO} $, $ \vec{BD} $).

3) противоположно направленные

Противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но указывают в противоположных направлениях.
- Векторы на одной и той же стороне, но с разным направлением: $ \vec{AB} $ и $ \vec{BA} $.
- Векторы на противоположных сторонах: $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD} $.
- Векторы на одной диагонали: $ \vec{AO} $ и $ \vec{CO} $; $ \vec{AO} $ и $ \vec{CA} $; $ \vec{AC} $ и $ \vec{CA} $.
Ответ: Примеры пар противоположно направленных векторов: ($ \vec{AB} $, $ \vec{CD} $); ($ \vec{AD} $, $ \vec{CB} $); ($ \vec{AO} $, $ \vec{CO} $); ($ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $); ($ \vec{BO} $, $ \vec{DO} $).

420. Точки M, N, P – соответственно середины сторон AB, BC, CA треугольника ABC. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках A, B, C, M, N, P:

1) равные вектору $\vec{MN}$;

2) коллинеарные вектору $\vec{AB}$;

3) противоположно направленные с вектором $\vec{MP}$;

4) сонаправленные с вектором $\vec{CA}$.

По условию, точки $M$, $N$, $P$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$. Это означает, что отрезки $MN$, $NP$, $MP$ являются средними линиями треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В векторной форме это означает:

$\overrightarrow{MN}$ параллелен $AC$ и $|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2}|AC|$, причем $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AC}$. Таким образом, $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{NP}$ параллелен $AB$ и $|\overrightarrow{NP}| = \frac{1}{2}|AB|$, причем $\overrightarrow{NP}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AB}$. Таким образом, $\overrightarrow{NP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{MP}$ параллелен $BC$ и $|\overrightarrow{MP}| = \frac{1}{2}|BC|$, причем $\overrightarrow{MP}$ сонаправлен с $\overrightarrow{BC}$. Таким образом, $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$.

Исходя из этих свойств, найдём искомые векторы.

1) равные вектору $\overrightarrow{MN}$

Равные векторы должны быть сонаправлены и иметь одинаковую длину. Вектор $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{AC}$ и его длина равна $|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC}|$. Точка $P$ — середина стороны $AC$, следовательно, она делит сторону на два равных отрезка: $AP = PC = \frac{1}{2} AC$. Векторы $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{PC}$ сонаправлены с вектором $\overrightarrow{AC}$ и имеют ту же длину, что и вектор $\overrightarrow{MN}$. Таким образом, $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PC}$.

Ответ: $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{PC}$.

2) коллинеарные вектору $\overrightarrow{AB}$

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На прямой $AB$ лежат векторы, образованные точками $A, M, B$: $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{BM}$. Средняя линия $NP$ параллельна стороне $AB$, значит, векторы, лежащие на прямой $NP$, также коллинеарны вектору $\overrightarrow{AB}$. Это векторы $\overrightarrow{NP}$ и $\overrightarrow{PN}$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{NP}, \overrightarrow{PN}$.

3) противоположно направленные с вектором $\overrightarrow{MP}$

Противоположно направленные векторы коллинеарны, но их направления противоположны. Средняя линия $MP$ параллельна стороне $BC$, и вектор $\overrightarrow{MP}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{BC}$ (а также с $\overrightarrow{BN}$ и $\overrightarrow{NC}$). Следовательно, нам нужны векторы, направленные в противоположную сторону, то есть от точки $C$ к точке $B$. Это векторы $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CN}, \overrightarrow{NB}$. Также вектору $\overrightarrow{MP}$ противоположен вектор $\overrightarrow{PM}$.

Ответ: $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CN}, \overrightarrow{NB}, \overrightarrow{PM}$.

4) сонаправленные с вектором $\overrightarrow{CA}$

Сонаправленные векторы коллинеарны и имеют одинаковое направление. Вектор $\overrightarrow{CA}$ направлен от точки $C$ к точке $A$. На прямой $CA$ ему сонаправлены векторы $\overrightarrow{CP}$ и $\overrightarrow{PA}$. Средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$. Как было установлено в пункте 1, вектор $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AC}$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{NM}$ (направленный от $N$ к $M$) сонаправлен с вектором $\overrightarrow{CA}$.

Ответ: $\overrightarrow{CP}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{NM}$.

421. Верно ли утверждение:

1) если $ \vec{m} = \vec{n} $, то $ |\vec{m}| = |\vec{n}| $;

2) если $ \vec{m} = \vec{n} $, то $ \vec{m} \parallel \vec{n} $;

3) если $ \vec{m} \neq \vec{n} $, то $ |\vec{m}| \neq |\vec{n}| $?

1) По определению, два вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равны ($\vec{m} = \vec{n}$), если они сонаправлены и их длины (модули) равны. Следовательно, из условия равенства векторов напрямую следует равенство их модулей. Таким образом, если $\vec{m} = \vec{n}$, то $|\vec{m}| = |\vec{n}|$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны. Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Таким образом, из условия $\vec{m} = \vec{n}$ следует, что векторы коллинеарны, а значит, и параллельны ($\vec{m} \parallel \vec{n}$). Утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) Утверждение неверно. Векторы могут быть не равны друг другу, но при этом иметь одинаковые модули. Два вектора не равны, если у них отличаются либо направления, либо длины, либо и то, и другое. Например, рассмотрим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, которые имеют одинаковую длину, но противоположные направления ($\vec{b} = -\vec{a}$). В этом случае $\vec{a} \neq \vec{b}$, но их модули равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Это противоречит утверждению, что если $\vec{m} \neq \vec{n}$, то обязательно $|\vec{m}| \neq |\vec{n}|$.
Ответ: Неверно.

422. Докажите, что если четырёхугольник $ABCD$ - параллелограмм, то $\overline{AB} = \overline{DC}$.

Для доказательства того, что если четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{AB} = \vec{DC}$, воспользуемся определением равенства векторов. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны.

Рассмотрим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

1. Сонаправленность. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$, то есть прямые, на которых лежат эти стороны, параллельны ($AB \parallel DC$). Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны. Поскольку вершины в названии параллелограмма $ABCD$ перечислены последовательно, направление от точки $A$ к точке $B$ совпадает с направлением от точки $D$ к точке $C$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены.

2. Равенство длин. Длина вектора — это длина отрезка, который он представляет. То есть, длина вектора $\vec{AB}$ равна длине отрезка $AB$, что записывается как $|\vec{AB}| = |AB|$. Аналогично, $|\vec{DC}| = |DC|$. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны по длине, значит $|AB| = |DC|$. Отсюда следует, что и длины векторов равны: $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$.

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и их длины равны, то по определению равных векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

423. Определите вид четырёхугольника ABCD, если $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$.

Для определения вида четырёхугольника $ABCD$ проанализируем заданные условия.

1. Анализ условия $\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DC}$

Обозначение $\overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}$ означает, что векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены. Это значит, что они коллинеарны (лежат на одной или на параллельных прямых) и направлены в одну и ту же сторону.
Из коллинеарности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ следует, что прямые, содержащие стороны $AB$ и $DC$, параллельны. То есть, $AB \parallel DC$.

2. Анализ условия $\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$

Обозначение $\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$ означает, что векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны.
Следовательно, из условия $\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$ следует, что прямые, содержащие стороны $BC$ и $DA$, параллельны. То есть, $BC \parallel DA$.

Вывод

Мы установили, что в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны:

• $AB \parallel DC$ (из первого условия)
• $BC \parallel DA$ (из второго условия)

Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом.

Стоит отметить, что уже первое условие $\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DC}$ в контексте вершин четырёхугольника, идущих по порядку, обычно подразумевает равенство векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, что само по себе является достаточным признаком параллелограмма. Второе условие подтверждает этот вывод.

Ответ: четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

424. Определите вид четырёхугольника $ABCD$,

если векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ коллинеарны и

$|\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{AD}|.$

По определению, коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Поскольку $A, B, C, D$ являются вершинами четырёхугольника, они не могут все лежать на одной прямой. Следовательно, из того, что векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ коллинеарны, следует, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, называется трапецией. Таким образом, $ABCD$ — трапеция, а стороны $BC$ и $AD$ являются её основаниями.

Также дано условие $|\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{AD}|$. Это означает, что длины оснований трапеции не равны. Если бы основания трапеции были равны, то четырёхугольник был бы параллелограммом (так как у него две стороны параллельны и равны). Условие неравенства длин исключает этот случай.

Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является трапецией, не являющейся параллелограммом.

Ответ: трапеция.

425. Найдите модули векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ (рис. 100), если сторона клетки равна 0,5 см.

Рис. 100

Для нахождения модуля (длины) вектора, изображенного на клетчатой бумаге, мы можем рассматривать вектор как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются проекции вектора на горизонтальную и вертикальную оси. Длину гипотенузы найдем по теореме Пифагора. Сначала определим длины катетов в единицах, равных стороне клетки, а затем переведем результат в сантиметры.

Модуль вектора $\vec{a}$

1. Определим компоненты вектора $\vec{a}$ в клеточных единицах. Для этого посчитаем, на сколько клеток смещается его конец относительно начала по горизонтали и по вертикали. Вектор $\vec{a}$ смещается на 4 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Таким образом, его координаты в "клеточной" системе равны $(4, -2)$.

2. Вычислим модуль вектора в клеточных единицах по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\vec{a}|_{клетки} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

3. Упростим полученное значение: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

4. Теперь переведем модуль в сантиметры, зная, что сторона одной клетки равна 0,5 см. Для этого умножим модуль в клетках на 0,5:

$|\vec{a}| = 2\sqrt{5} \cdot 0,5 \text{ см} = \sqrt{5} \text{ см}$.

Ответ: $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ см.

Модуль вектора $\vec{b}$

1. Аналогично найдем компоненты вектора $\vec{b}$. Он смещается на 4 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Его "клеточные" координаты равны $(4, 1)$.

2. Вычислим модуль вектора в клеточных единицах:

$|\vec{b}|_{клетки} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

3. Переведем результат в сантиметры, умножив на 0,5:

$|\vec{b}| = \sqrt{17} \cdot 0,5 \text{ см} = \frac{\sqrt{17}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

426. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $O$ – точка пересечения диагоналей. Найдите модули векторов $\vec{CA}$, $\vec{BO}$, $\vec{OC}$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его углы прямые, а противоположные стороны равны. Следовательно, $\triangle ABC$ является прямоугольным треугольником с катетами $AB = 6$ см и $BC = 8$ см.

$\vec{CA}$
Модуль вектора $\vec{CA}$ равен длине отрезка $CA$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$. По теореме Пифагора:
$|\vec{CA}|^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AC = \sqrt{100} = 10$ см.
Таким образом, $|\vec{CA}| = 10$ см.
Ответ: $|\vec{CA}| = 10$ см.

$\vec{BO}$
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$. Точка $O$ — середина диагоналей $AC$ и $BD$.
Длина диагонали $BD$ равна длине диагонали $AC$, то есть $BD = 10$ см.
Модуль вектора $\vec{BO}$ равен длине отрезка $BO$. Так как $O$ — середина $BD$, то:
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Ответ: $|\vec{BO}| = 5$ см.

$\vec{OC}$
Модуль вектора $\vec{OC}$ равен длине отрезка $OC$. Так как точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то:
$|\vec{OC}| = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Ответ: $|\vec{OC}| = 5$ см.

427. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $|\vec{AB}| = 5 \text{ см}$, $|\vec{AO}| = 6,5 \text{ см}$. Найдите модули векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AD}$.

По условию задачи дан прямоугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Модуль вектора равен длине соответствующего отрезка, поэтому из условия мы имеем длину стороны $AB = |\vec{AB}| = 5$ см и длину отрезка $AO = |\vec{AO}| = 6,5$ см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Следовательно, длина всей диагонали $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AO$:
$AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6,5 = 13$ см.
Так как в прямоугольнике диагонали равны, то $BD = AC = 13$ см.
Модуль вектора $\vec{BD}$ равен длине отрезка $BD$, следовательно, $|\vec{BD}| = 13$ см.

Ответ: $|\vec{BD}| = 13$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Поскольку $ABCD$ – прямоугольник, угол $\angle DAB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABD$ является прямоугольным треугольником с гипотенузой $BD$ и катетами $AB$ и $AD$.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $AB^2 + AD^2 = BD^2$.
Подставим известные значения $AB = 5$ см и $BD = 13$ см:
$5^2 + AD^2 = 13^2$
$25 + AD^2 = 169$
$AD^2 = 169 - 25$
$AD^2 = 144$
$AD = \sqrt{144} = 12$ см.
Модуль вектора $\vec{AD}$ равен длине стороны $AD$, следовательно, $|\vec{AD}| = 12$ см.

Ответ: $|\vec{AD}| = 12$ см.

428. Известно, что $\vec{AB} = \vec{DC}$. Верно ли, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма?

Равенство векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ означает, что эти векторы имеют одинаковое направление (сонаправлены) и равные длины (модули). Из этого следует, что отрезки $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине, то есть $AB \parallel DC$ и $|AB| = |DC|$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точек A, B, C и D.

1. Точки A, B, C и D не лежат на одной прямой.В этом случае мы можем рассмотреть четырехугольник $ABCD$. У этого четырехугольника стороны $AB$ и $DC$ являются противоположными. Так как эти стороны равны и параллельны, то по признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм), четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

2. Точки A, B, C и D лежат на одной прямой.В этом случае они не могут образовать параллелограмм, который является плоской фигурой, все вершины которой не могут лежать на одной прямой. При этом условие $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ может быть выполнено. Например, если на координатной прямой взять точки $A(0)$, $B(2)$, $D(5)$, $C(7)$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ будет иметь координату $(2-0)=2$, а вектор $\overrightarrow{DC}$ будет иметь координату $(7-5)=2$. Векторы равны, но все точки лежат на одной прямой.

Поскольку существует случай, когда точки не образуют параллелограмм (случай, когда все точки лежат на одной прямой), то данное в задаче утверждение не является верным в общем случае.

Ответ: Неверно. Утверждение будет верным только при дополнительном условии, что точки A, B, C и D не лежат на одной прямой.

429. Известно, что $\vec{AB} = \vec{DC}$. Какие ещё равные векторы задают точки А, В, С и D?

Равенство векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ означает, что эти векторы сонаправлены (лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону) и имеют равные длины, то есть $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$.

Данное условие является признаком того, что четырехугольник $ABCD$ (при последовательном соединении вершин) является параллелограммом. Это утверждение справедливо и для вырожденного случая, когда все четыре точки лежат на одной прямой.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны попарно равны и параллельны. Кроме сторон $AB$ и $DC$, этому свойству удовлетворяет и пара сторон $AD$ и $BC$. Векторы, образованные этими сторонами, также будут равны, если учесть их направление. Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $D$ будет равен вектору с началом в точке $B$ и концом в точке $C$. Таким образом, мы получаем еще одну пару равных векторов: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Кроме того, если два вектора равны, то и противоположные им векторы также равны между собой.

• Из исходного равенства $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ следует, что $-\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DC}$, что эквивалентно $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$.
• Из полученного нами равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ следует, что $-\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{BC}$, что эквивалентно $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$.

Следовательно, помимо заданного в условии, точки $A, B, C, D$ определяют еще три пары равных векторов.

Ответ: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$.