Номер 421, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

421. Верно ли утверждение:

1) если $ \vec{m} = \vec{n} $, то $ |\vec{m}| = |\vec{n}| $;

2) если $ \vec{m} = \vec{n} $, то $ \vec{m} \parallel \vec{n} $;

3) если $ \vec{m} \neq \vec{n} $, то $ |\vec{m}| \neq |\vec{n}| $?

1) По определению, два вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равны ($\vec{m} = \vec{n}$), если они сонаправлены и их длины (модули) равны. Следовательно, из условия равенства векторов напрямую следует равенство их модулей. Таким образом, если $\vec{m} = \vec{n}$, то $|\vec{m}| = |\vec{n}|$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны. Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Таким образом, из условия $\vec{m} = \vec{n}$ следует, что векторы коллинеарны, а значит, и параллельны ($\vec{m} \parallel \vec{n}$). Утверждение верно.
Ответ: Верно.

3) Утверждение неверно. Векторы могут быть не равны друг другу, но при этом иметь одинаковые модули. Два вектора не равны, если у них отличаются либо направления, либо длины, либо и то, и другое. Например, рассмотрим два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, которые имеют одинаковую длину, но противоположные направления ($\vec{b} = -\vec{a}$). В этом случае $\vec{a} \neq \vec{b}$, но их модули равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Это противоречит утверждению, что если $\vec{m} \neq \vec{n}$, то обязательно $|\vec{m}| \neq |\vec{n}|$.
Ответ: Неверно.