Номер 417, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

417. Какие из векторов, изображённых на рисунке 99:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны?

Рис. 99

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$, $\vec{g}$, $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$

Для решения задачи определим координаты каждого вектора на сетке, приняв сторону одной клетки за единицу.

• $ \vec{a} = (2, 2) $
• $ \vec{b} = (2, 2) $
• $ \vec{c} = (3, 0) $
• $ \vec{d} = (3, 0) $
• $ \vec{e} = (0, 2) $
• $ \vec{f} = (0, -4) $
• $ \vec{g} = (3, 2) $
• $ \vec{m} = (-2, 0) $
• $ \vec{n} = (0, 2) $
• $ \vec{p} = (2, 1) $

1) равны

Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны.

Сравнивая координаты векторов, находим следующие пары равных векторов:

• $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, так как их координаты $(2, 2)$ совпадают.
• $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $, так как их координаты $(3, 0)$ совпадают.
• $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $, так как их координаты $(0, 2)$ совпадают.

Ответ: $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $; $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $; $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $.

2) сонаправлены

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону. Математически, вектор $ \vec{u} $ сонаправлен вектору $ \vec{v} $, если существует такое положительное число $ k $, что $ \vec{u} = k \cdot \vec{v} $. Все равные векторы являются сонаправленными. В данном наборе векторов других сонаправленных пар, кроме равных, нет.

Сонаправленными являются:

• $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ (так как $ \vec{a} = \vec{b} $)
• $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $ (так как $ \vec{c} = \vec{d} $)
• $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $ (так как $ \vec{e} = \vec{n} $)

Ответ: $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $; $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $; $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $.

3) противоположно направлены

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны. Математически, вектор $ \vec{u} $ противоположно направлен вектору $ \vec{v} $, если существует такое отрицательное число $ k $, что $ \vec{u} = k \cdot \vec{v} $.

Найдем такие пары:

• Векторы $ \vec{e}=(0, 2) $ и $ \vec{f}=(0, -4) $. Они оба вертикальны, но направлены в разные стороны. Связь между ними: $ \vec{f} = -2 \cdot \vec{e} $. Так как $ \vec{e} = \vec{n} $, то пара $ \vec{n} $ и $ \vec{f} $ также противоположно направлена.
• Векторы $ \vec{c}=(3, 0) $ и $ \vec{m}=(-2, 0) $. Они оба горизонтальны, но направлены в разные стороны. Связь между ними: $ \vec{m} = -\frac{2}{3} \cdot \vec{c} $. Так как $ \vec{c} = \vec{d} $, то пара $ \vec{d} $ и $ \vec{m} $ также противоположно направлена.

Ответ: $ \vec{e} $ и $ \vec{f} $; $ \vec{n} $ и $ \vec{f} $; $ \vec{c} $ и $ \vec{m} $; $ \vec{d} $ и $ \vec{m} $.

4) коллинеарны

Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. К ним относятся как сонаправленные, так и противоположно направленные векторы. Объединим векторы из пунктов 2 и 3 в группы.

• Группа 1 (параллельные горизонтальной оси): $ \vec{c} $, $ \vec{d} $, $ \vec{m} $.
• Группа 2 (параллельные вертикальной оси): $ \vec{e} $, $ \vec{f} $, $ \vec{n} $.
• Группа 3 (сонаправленные, не параллельные осям): $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Ответ: $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $; $ \vec{c} $, $ \vec{d} $ и $ \vec{m} $; $ \vec{e} $, $ \vec{f} $ и $ \vec{n} $.