Номер 423, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

423. Определите вид четырёхугольника ABCD, если $\overrightarrow{AB}\uparrow\uparrow\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$.

Для определения вида четырёхугольника $ABCD$ проанализируем заданные условия.

1. Анализ условия $\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DC}$

Обозначение $\overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}$ означает, что векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены. Это значит, что они коллинеарны (лежат на одной или на параллельных прямых) и направлены в одну и ту же сторону.
Из коллинеарности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ следует, что прямые, содержащие стороны $AB$ и $DC$, параллельны. То есть, $AB \parallel DC$.

2. Анализ условия $\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$

Обозначение $\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$ означает, что векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны.
Следовательно, из условия $\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA}$ следует, что прямые, содержащие стороны $BC$ и $DA$, параллельны. То есть, $BC \parallel DA$.

Вывод

Мы установили, что в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны:

• $AB \parallel DC$ (из первого условия)
• $BC \parallel DA$ (из второго условия)

Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом.

Стоит отметить, что уже первое условие $\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DC}$ в контексте вершин четырёхугольника, идущих по порядку, обычно подразумевает равенство векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, что само по себе является достаточным признаком параллелограмма. Второе условие подтверждает этот вывод.

Ответ: четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.