Номер 418, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

418. Точки M и N – соответственно середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках A, B, C, D, M, N:

1) равные вектору $\vec{AM}$;

2) коллинеарные вектору $\vec{CD}$;

3) противоположно направленные с вектором $\vec{NC}$;

4) сонаправленные с вектором $\vec{BC}$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. Найдём векторы, с началом и концом в точках $A, B, C, D, M, N$, которые удовлетворяют заданным условиям.

1) равные вектору $\overline{AM}$

Равными называются векторы, которые сонаправлены (имеют одинаковое направление) и равны по длине (модулю).
- Так как $M$ — середина стороны $AB$, то $|\overline{AM}| = |\overline{MB}|$, и векторы $\overline{AM}$ и $\overline{MB}$ сонаправлены (направлены в одну сторону от $A$ к $B$). Следовательно, $\overline{AM} = \overline{MB}$.
- В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\overline{AB} = \overline{DC}$. Это означает, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены и равны по длине.
- Поскольку $M$ и $N$ — середины равных сторон $AB$ и $CD$, то длины отрезков $AM, MB, DN, NC$ равны между собой: $AM = MB = DN = NC$.
- Направление векторов $\overline{DN}$ и $\overline{NC}$ совпадает с направлением вектора $\overline{DC}$. Направление вектора $\overline{AM}$ совпадает с направлением вектора $\overline{AB}$. Так как $\overline{AB}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены, то и векторы $\overline{AM}, \overline{DN}, \overline{NC}$ также сонаправлены.
Таким образом, векторы $\overline{MB}, \overline{DN}$ и $\overline{NC}$ имеют ту же длину и то же направление, что и вектор $\overline{AM}$.
Ответ: $\overline{MB}, \overline{DN}, \overline{NC}$.

2) коллинеарные вектору $\overline{CD}$

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
- Вектор $\overline{CD}$ лежит на прямой $CD$.
- В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB$ параллельна стороне $CD$.
- Следовательно, все векторы, образованные точками, лежащими на прямых $AB$ или $CD$, будут коллинеарны вектору $\overline{CD}$.
- Векторы на прямой $AB$: $\overline{AB}, \overline{BA}, \overline{AM}, \overline{MA}, \overline{MB}, \overline{BM}$.
- Векторы на прямой $CD$: $\overline{DC}, \overline{CN}, \overline{NC}, \overline{DN}, \overline{ND}$.
Ответ: $\overline{DC}, \overline{CN}, \overline{NC}, \overline{DN}, \overline{ND}, \overline{AB}, \overline{BA}, \overline{AM}, \overline{MA}, \overline{MB}, \overline{BM}$.

3) противоположно направленные с вектором $\overline{NC}$

Противоположно направленными называются коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны.
- Вектор $\overline{NC}$ направлен от точки $N$ к точке $C$. Его направление совпадает с направлением вектора $\overline{DC}$.
- Следовательно, искомые векторы должны быть направлены в противоположную сторону, то есть так же, как вектор $\overline{CD}$ (от $C$ к $D$) или сонаправленный ему вектор $\overline{BA}$ (от $B$ к $A$).
- На прямой $CD$ в сторону от $C$ к $D$ направлены векторы: $\overline{CN}, \overline{ND}, \overline{CD}$.
- На прямой $AB$ в сторону от $B$ к $A$ направлены векторы: $\overline{BA}, \overline{BM}, \overline{MA}$.
Ответ: $\overline{CN}, \overline{ND}, \overline{CD}, \overline{BA}, \overline{BM}, \overline{MA}$.

4) сонаправленные с вектором $\overline{BC}$

Сонаправленными называются коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону.
- Вектор $\overline{BC}$ направлен от $B$ к $C$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ параллельна и равна стороне $BC$, поэтому вектор $\overline{AD}$ сонаправлен с вектором $\overline{BC}$.
- Рассмотрим вектор $\overline{MN}$. По правилу многоугольника для сложения векторов: $\overline{MN} = \overline{MB} + \overline{BC} + \overline{CN}$.
- Векторы $\overline{MB}$ и $\overline{CN}$ равны по длине ($MB = CN = \frac{1}{2}AB$), лежат на параллельных прямых ($AB \parallel CD$), но противоположно направлены. Направление $\overline{MB}$ совпадает с $\overline{AB}$, а направление $\overline{CN}$ совпадает с $\overline{CD}$. Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ противоположно направлены ($\overline{AB} = -\overline{CD}$). Следовательно, $\overline{MB} = -\overline{CN}$, а их сумма равна нулевому вектору: $\overline{MB} + \overline{CN} = \overline{0}$.
- Подставив это в выражение для $\overline{MN}$, получаем: $\overline{MN} = \overline{0} + \overline{BC} = \overline{BC}$.
- Таким образом, вектор $\overline{MN}$ равен вектору $\overline{BC}$ и, следовательно, сонаправлен с ним.
Других векторов, сонаправленных с $\overline{BC}$, среди заданных точек нет.
Ответ: $\overline{AD}, \overline{MN}$.