Номер 419, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

419. Пусть $\mathring{O}$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках $A, B, C, D, \mathring{O}$:

1) равные;

2) сонаправленные;

3) противоположно направленные.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Исходя из свойств параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине ($AB \parallel DC, AD \parallel BC$ и $|AB|=|DC|, |AD|=|BC|$), а диагонали точкой пересечения делятся пополам ($|AO|=|OC|, |BO|=|OD|$). На основании этих свойств найдем искомые векторы.

1) равные

Равные векторы должны быть сонаправлены (иметь одинаковое направление) и равны по длине.
- Векторы, лежащие на противоположных сторонах параллелограмма: $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $; $ \vec{AD} $ и $ \vec{BC} $ (а также обратные им $ \vec{BA} $ и $ \vec{CD} $; $ \vec{DA} $ и $ \vec{CB} $).
- Векторы, являющиеся половинами диагоналей: $ \vec{AO} $ и $ \vec{OC} $; $ \vec{BO} $ и $ \vec{OD} $ (а также обратные им $ \vec{CO} $ и $ \vec{OA} $; $ \vec{DO} $ и $ \vec{OB} $).
Ответ: $ \vec{AB} = \vec{DC} $; $ \vec{AD} = \vec{BC} $; $ \vec{AO} = \vec{OC} $; $ \vec{BO} = \vec{OD} $.

2) сонаправленные

Сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и указывают в одном направлении. Их длины могут быть разными.
- Все пары равных векторов также являются сонаправленными, например, $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $, или $ \vec{AO} $ и $ \vec{OC} $.
- Кроме того, сонаправленными являются векторы, лежащие на одной прямой, такие как часть диагонали и вся диагональ. Например, $ \vec{AO} $ и $ \vec{AC} $, или $ \vec{BO} $ и $ \vec{BD} $.
Ответ: Примеры пар сонаправленных векторов: ($ \vec{AB} $, $ \vec{DC} $); ($ \vec{AD} $, $ \vec{BC} $); ($ \vec{AO} $, $ \vec{OC} $); ($ \vec{AO} $, $ \vec{AC} $); ($ \vec{BO} $, $ \vec{BD} $).

3) противоположно направленные

Противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но указывают в противоположных направлениях.
- Векторы на одной и той же стороне, но с разным направлением: $ \vec{AB} $ и $ \vec{BA} $.
- Векторы на противоположных сторонах: $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD} $.
- Векторы на одной диагонали: $ \vec{AO} $ и $ \vec{CO} $; $ \vec{AO} $ и $ \vec{CA} $; $ \vec{AC} $ и $ \vec{CA} $.
Ответ: Примеры пар противоположно направленных векторов: ($ \vec{AB} $, $ \vec{CD} $); ($ \vec{AD} $, $ \vec{CB} $); ($ \vec{AO} $, $ \vec{CO} $); ($ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $); ($ \vec{BO} $, $ \vec{DO} $).