Номер 414, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

414. Начертите треугольник $ABC$. От точек $B$ и $C$ отложите векторы, соответственно равные векторам $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$. Докажите, что концы построенных векторов совпадают.

Начертим произвольный треугольник $ABC$.

1. Согласно условию, от точки $B$ нужно отложить вектор, равный вектору $\overline{AC}$. Пусть конец этого нового вектора будет точка $D$. Таким образом, мы имеем векторное равенство: $\overline{BD} = \overline{AC}$.

По определению, равные векторы сонаправлены и имеют одинаковую длину. Это означает, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны, а длины отрезков $AC$ и $BD$ равны.
$AC \parallel BD$ и $|AC| = |BD|$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Так как две его противоположные стороны ($AC$ и $BD$) параллельны и равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме $ABDC$ другие две противоположные стороны ($AB$ и $CD$) также параллельны и равны. Это означает, что векторы, образованные этими сторонами, равны: $\overline{AB} = \overline{CD}$.

2. Теперь выполним вторую часть условия: от точки $C$ отложим вектор, равный вектору $\overline{AB}$. Обозначим конец этого вектора точкой $E$. По построению имеем: $\overline{CE} = \overline{AB}$.

3. Сравним результаты, полученные в пунктах 1 и 2.
Из свойств параллелограмма $ABDC$ мы выяснили, что $\overline{CD} = \overline{AB}$.
По условию задачи, $\overline{CE} = \overline{AB}$.

Следовательно, мы можем утверждать, что $\overline{CD} = \overline{CE}$.

Два вектора, имеющие общее начало (в нашем случае это точка $C$), равны только в том случае, если их концы совпадают. Значит, точки $D$ и $E$ — это одна и та же точка.

Таким образом, мы доказали, что концы построенных векторов совпадают.

Ответ: концы построенных векторов совпадают, так как в обоих случаях построение приводит к одной и той же точке $D$, которая является четвертой вершиной параллелограмма $ABDC$.