Номер 413, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

413. Начертите треугольник $ABC$ и отметьте точку $M$ – середину стороны $BC$. От точки $M$ отложите вектор, равный вектору $\overrightarrow{AM}$, а от точки $B$ – вектор, равный вектору $\overrightarrow{AC}$. Докажите, что концы построенных векторов совпадают.

Дано:
Треугольник $ABC$.
Точка $M$ — середина стороны $BC$.

Построение:
1. От точки $M$ отложен вектор, равный вектору $\vec{AM}$. Обозначим конец этого вектора точкой $D$. Таким образом, $\vec{MD} = \vec{AM}$.
2. От точки $B$ отложен вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Обозначим конец этого вектора точкой $E$. Таким образом, $\vec{BE} = \vec{AC}$.

Доказать:
Концы построенных векторов совпадают, то есть точка $D$ совпадает с точкой $E$.

Доказательство:

Для доказательства того, что точки $D$ и $E$ совпадают, достаточно доказать равенство векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AE}$, так как они отложены от одной точки $A$.

1. Выразим вектор $\vec{AD}$ через векторы сторон треугольника.
По правилу сложения векторов (правилу многоугольника): $\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{MD}$.
По условию построения, $\vec{MD} = \vec{AM}$.
Следовательно, $\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{AM} = 2\vec{AM}$.
Так как $M$ — середина отрезка $BC$, то вектор медианы $\vec{AM}$ можно выразить через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по формуле:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.
Подставим это выражение в формулу для $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = 2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{AC}$.

2. Теперь выразим вектор $\vec{AE}$ через векторы сторон треугольника.
По правилу сложения векторов (правилу треугольника): $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.
По условию построения, $\vec{BE} = \vec{AC}$.
Следовательно, $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

3. Сравним полученные выражения.
Мы получили, что $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$ и $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
Значит, $\vec{AD} = \vec{AE}$.
Поскольку векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AE}$ равны и начинаются в одной и той же точке $A$, их концы должны совпадать. Таким образом, точка $D$ совпадает с точкой $E$, что и требовалось доказать.

Ответ: Концы построенных векторов совпадают.