Номер 420, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

420. Точки M, N, P – соответственно середины сторон AB, BC, CA треугольника ABC. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках A, B, C, M, N, P:

1) равные вектору $\vec{MN}$;

2) коллинеарные вектору $\vec{AB}$;

3) противоположно направленные с вектором $\vec{MP}$;

4) сонаправленные с вектором $\vec{CA}$.

По условию, точки $M$, $N$, $P$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$. Это означает, что отрезки $MN$, $NP$, $MP$ являются средними линиями треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В векторной форме это означает:

$\overrightarrow{MN}$ параллелен $AC$ и $|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2}|AC|$, причем $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AC}$. Таким образом, $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{NP}$ параллелен $AB$ и $|\overrightarrow{NP}| = \frac{1}{2}|AB|$, причем $\overrightarrow{NP}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AB}$. Таким образом, $\overrightarrow{NP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{MP}$ параллелен $BC$ и $|\overrightarrow{MP}| = \frac{1}{2}|BC|$, причем $\overrightarrow{MP}$ сонаправлен с $\overrightarrow{BC}$. Таким образом, $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$.

Исходя из этих свойств, найдём искомые векторы.

1) равные вектору $\overrightarrow{MN}$

Равные векторы должны быть сонаправлены и иметь одинаковую длину. Вектор $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{AC}$ и его длина равна $|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC}|$. Точка $P$ — середина стороны $AC$, следовательно, она делит сторону на два равных отрезка: $AP = PC = \frac{1}{2} AC$. Векторы $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{PC}$ сонаправлены с вектором $\overrightarrow{AC}$ и имеют ту же длину, что и вектор $\overrightarrow{MN}$. Таким образом, $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PC}$.

Ответ: $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{PC}$.

2) коллинеарные вектору $\overrightarrow{AB}$

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На прямой $AB$ лежат векторы, образованные точками $A, M, B$: $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{BM}$. Средняя линия $NP$ параллельна стороне $AB$, значит, векторы, лежащие на прямой $NP$, также коллинеарны вектору $\overrightarrow{AB}$. Это векторы $\overrightarrow{NP}$ и $\overrightarrow{PN}$.

Ответ: $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{NP}, \overrightarrow{PN}$.

3) противоположно направленные с вектором $\overrightarrow{MP}$

Противоположно направленные векторы коллинеарны, но их направления противоположны. Средняя линия $MP$ параллельна стороне $BC$, и вектор $\overrightarrow{MP}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{BC}$ (а также с $\overrightarrow{BN}$ и $\overrightarrow{NC}$). Следовательно, нам нужны векторы, направленные в противоположную сторону, то есть от точки $C$ к точке $B$. Это векторы $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CN}, \overrightarrow{NB}$. Также вектору $\overrightarrow{MP}$ противоположен вектор $\overrightarrow{PM}$.

Ответ: $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CN}, \overrightarrow{NB}, \overrightarrow{PM}$.

4) сонаправленные с вектором $\overrightarrow{CA}$

Сонаправленные векторы коллинеарны и имеют одинаковое направление. Вектор $\overrightarrow{CA}$ направлен от точки $C$ к точке $A$. На прямой $CA$ ему сонаправлены векторы $\overrightarrow{CP}$ и $\overrightarrow{PA}$. Средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$. Как было установлено в пункте 1, вектор $\overrightarrow{MN}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AC}$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{NM}$ (направленный от $N$ к $M$) сонаправлен с вектором $\overrightarrow{CA}$.

Ответ: $\overrightarrow{CP}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{NM}$.