Номер 425, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

425. Найдите модули векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ (рис. 100), если сторона клетки равна 0,5 см.

Рис. 100

Для нахождения модуля (длины) вектора, изображенного на клетчатой бумаге, мы можем рассматривать вектор как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются проекции вектора на горизонтальную и вертикальную оси. Длину гипотенузы найдем по теореме Пифагора. Сначала определим длины катетов в единицах, равных стороне клетки, а затем переведем результат в сантиметры.

Модуль вектора $\vec{a}$

1. Определим компоненты вектора $\vec{a}$ в клеточных единицах. Для этого посчитаем, на сколько клеток смещается его конец относительно начала по горизонтали и по вертикали. Вектор $\vec{a}$ смещается на 4 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Таким образом, его координаты в "клеточной" системе равны $(4, -2)$.

2. Вычислим модуль вектора в клеточных единицах по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\vec{a}|_{клетки} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

3. Упростим полученное значение: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

4. Теперь переведем модуль в сантиметры, зная, что сторона одной клетки равна 0,5 см. Для этого умножим модуль в клетках на 0,5:

$|\vec{a}| = 2\sqrt{5} \cdot 0,5 \text{ см} = \sqrt{5} \text{ см}$.

Ответ: $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ см.

Модуль вектора $\vec{b}$

1. Аналогично найдем компоненты вектора $\vec{b}$. Он смещается на 4 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Его "клеточные" координаты равны $(4, 1)$.

2. Вычислим модуль вектора в клеточных единицах:

$|\vec{b}|_{клетки} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

3. Переведем результат в сантиметры, умножив на 0,5:

$|\vec{b}| = \sqrt{17} \cdot 0,5 \text{ см} = \frac{\sqrt{17}}{2} \text{ см}$.

Ответ: $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.