Номер 431, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

431. Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ коллинеарны и $|\overline{AC}| = |\overline{BD}|$. Определите вид четырёхугольника ABCD.

По условию задачи, векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ коллинеарны. Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$, содержащие стороны четырёхугольника, параллельны.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — это трапеция с основаниями $AB$ и $CD$.

Второе условие гласит, что $|\overline{AC}| = |\overline{BD}|$. Модуль вектора — это его длина. Следовательно, длины диагоналей трапеции $AC$ и $BD$ равны.

Теперь нам нужно определить вид трапеции, у которой равны диагонали. Докажем, что такая трапеция является равнобедренной (равнобокой).

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AB \parallel CD$ и равными диагоналями $AC = BD$. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до её пересечения с продолжением основания $AB$ в точке $K$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $KBCD$. В нём стороны $KB$ и $DC$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $AK$ и $DC$. Стороны $KC$ и $DB$ параллельны по построению. Следовательно, $KBCD$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $KC = DB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AKC$. По условию задачи $AC = BD$, а из построения мы получили, что $KC = DB$. Отсюда следует, что $AC = KC$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle AKC$ — равнобедренный, и углы при его основании $AK$ равны: $\angle CAK = \angle CKA$.

Поскольку прямые $KC$ и $DB$ параллельны, а $AK$ — секущая, то углы $\angle CKA$ и $\angle DBA$ равны как соответственные. Из равенств $\angle CAK = \angle CKA$ и $\angle CKA = \angle DBA$ следует, что $\angle CAK = \angle DBA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$. У них:

• сторона $AB$ — общая;
• диагонали $BD = AC$ (по условию);
• углы $\angle DBA = \angle CAB$ (как мы только что доказали).

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует и равенство их соответствующих сторон: $AD = BC$. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Стоит отметить, что прямоугольник также удовлетворяет условиям задачи. Он является частным случаем равнобедренной трапеции (его противоположные стороны параллельны, а диагонали равны).

Таким образом, заданный четырёхугольник является равнобедренной трапецией.

Ответ: Равнобедренная трапеция.