Номер 435, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

435. Известно, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны. Вектор $\vec{a}$ коллинеарен каждому из векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Докажите, что вектор $\vec{a}$ является нулевым.

По условию задачи, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются неколлинеарными. Это означает, что они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Важным следствием этого является то, что ни $\vec{b}$, ни $\vec{c}$ не могут быть нулевым вектором, так как нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору. Таким образом, $\vec{b} \ne \vec{0}$ и $\vec{c} \ne \vec{0}$.

Также по условию, вектор $\vec{a}$ коллинеарен каждому из векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Из того, что вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$, по определению коллинеарности следует, что существует такое действительное число $k_1$, для которого выполняется равенство:

$\vec{a} = k_1 \cdot \vec{b}$

Аналогично, из того, что вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$, следует, что существует такое действительное число $k_2$, для которого выполняется равенство:

$\vec{a} = k_2 \cdot \vec{c}$

Приравняем правые части этих двух выражений для вектора $\vec{a}$:

$k_1 \cdot \vec{b} = k_2 \cdot \vec{c}$

Рассмотрим это равенство. Допустим, что коэффициент $k_1$ не равен нулю ($k_1 \ne 0$). Тогда мы можем выразить вектор $\vec{b}$:

$\vec{b} = \frac{k_2}{k_1} \cdot \vec{c}$

Если мы обозначим частное $\frac{k_2}{k_1}$ как новую константу $k$, то получим $\vec{b} = k \cdot \vec{c}$. Это равенство является определением коллинеарности векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Однако это противоречит исходному условию, что векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны.

Значит, наше допущение о том, что $k_1 \ne 0$, было неверным. Следовательно, единственно возможный вариант — это $k_1 = 0$.

Теперь подставим это значение $k_1 = 0$ в первое уравнение:

$\vec{a} = 0 \cdot \vec{b}$

Произведение любого вектора на скаляр 0 равно нулевому вектору. Таким образом, мы получаем:

$\vec{a} = \vec{0}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Вектор $\vec{a}$ является нулевым.