Номер 436, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

436. Известно, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны. Докажите, что точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны?

Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

По определению, два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$. У них общее начало — точка A.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Назовем ее прямой $l_1$.
Вектор $\overrightarrow{AC}$ лежит на прямой, проходящей через точки A и C. Назовем ее прямой $l_2$.

Поскольку векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны, то прямые $l_1$ и $l_2$, на которых они лежат, либо совпадают, либо параллельны.

Однако обе эти прямые ($l_1$ и $l_2$) проходят через общую точку A. Через одну точку не может проходить две различные параллельные прямые. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать.

Так как точка B лежит на прямой $l_1$, а точка C — на прямой $l_2$, и прямые $l_1$ и $l_2$ совпадают, то точки A, B и C лежат на одной и той же прямой. Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:
Из коллинеарности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ следует, что существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ (если $\overrightarrow{AB} \neq \vec{0}$). Это равенство показывает, что вектор $\overrightarrow{AC}$ получается из вектора $\overrightarrow{AB}$ умножением на скаляр. Так как оба вектора отложены от одной точки A, их концы (точки C и B) должны лежать на одной прямой, проходящей через точку A. Таким образом, точки A, B и C лежат на одной прямой. Если же $\overrightarrow{AB} = \vec{0}$, то A=B, и тогда коллинеарный ему вектор $\overrightarrow{AC}$ также должен быть нулевым ($\overrightarrow{AC}=\vec{0}$), что означает A=C. В этом случае все три точки совпадают и, следовательно, лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Верно ли обратное утверждение: если точки A, B и C лежат на одной прямой, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны?

Да, обратное утверждение верно.

Пусть точки A, B и C лежат на одной прямой, назовем ее $l$.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ определяется двумя точками A и B. Поскольку обе эти точки лежат на прямой $l$, то и весь вектор $\overrightarrow{AB}$ лежит на этой прямой.

Аналогично, вектор $\overrightarrow{AC}$ определяется точками A и C. Так как они обе лежат на прямой $l$, то и вектор $\overrightarrow{AC}$ лежит на этой же прямой.

По определению, векторы, лежащие на одной прямой, являются коллинеарными. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны.

Ответ: Да, обратное утверждение верно.