Номер 441, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

441. На сторонах $BC$ и $AD$ ромба $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ такие, что $BM : MC = KD : AK = 1 : 2$. Найдите отрезок $MK$, если $AB = a$, $\angle ABC = 60^\circ$.

441.

Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = a$. Противоположные стороны параллельны, в частности, $AD \parallel BC$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как по условию $\angle ABC = 60^\circ$, то $\angle BCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 1 : 2$. Длина стороны $BC = a$, следовательно, $BM = \frac{1}{1+2} BC = \frac{1}{3}a$ и $MC = \frac{2}{1+2} BC = \frac{2}{3}a$.

Точка $K$ делит сторону $AD$ в отношении $KD : AK = 1 : 2$. Длина стороны $AD = a$, следовательно, $KD = \frac{1}{1+2} AD = \frac{1}{3}a$ и $AK = \frac{2}{1+2} AD = \frac{2}{3}a$.

Для нахождения длины отрезка $MK$ воспользуемся методом достроения. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную стороне $CD$, до пересечения с прямой $BC$ в точке $N$. Полученный четырехугольник $KNDC$ является параллелограммом, так как $KN \parallel DC$ по построению, а $KD \parallel NC$ как отрезки параллельных прямых $AD$ и $BC$.

Из свойств параллелограмма $KNDC$ следует, что его противоположные стороны равны: $KN = DC = a$ и $NC = KD = \frac{1}{3}a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KMN$. Найдем длины двух его сторон и угол между ними.

Сторона $MN$: Точки $M$, $N$, $C$ лежат на одной прямой $BC$. Отсчитывая от точки $C$, мы имеем $MC = \frac{2}{3}a$ и $NC = \frac{1}{3}a$. Это означает, что точка $N$ лежит на отрезке $MC$. Длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $MC$ и $NC$:

$MN = MC - NC = \frac{2}{3}a - \frac{1}{3}a = \frac{1}{3}a$.

Угол $\angle KNM$: Так как в ромбе $ABCD$ сторона $AB \parallel CD$, а по нашему построению $KN \parallel CD$, то $KN \parallel AB$. Угол между прямыми $KN$ и $BC$ равен углу между параллельными им прямыми $AB$ и $BC$, то есть $\angle ABC = 60^\circ$. Таким образом, угол $\angle KNC = 60^\circ$. Поскольку точки $M$, $N$, $C$ лежат на одной прямой, угол $\angle KNM$ и угол $\angle KNC$ являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle KNM = 180^\circ - \angle KNC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь мы можем найти длину искомой стороны $MK$ по теореме косинусов для треугольника $\triangle KMN$:

$MK^2 = KN^2 + MN^2 - 2 \cdot KN \cdot MN \cdot \cos(\angle KNM)$

Подставим известные значения:

$MK^2 = a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{3} \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$MK^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} - 2 \cdot \frac{a^2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$MK^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{3}$

Приводя слагаемые к общему знаменателю, находим:

$MK^2 = \frac{9a^2}{9} + \frac{a^2}{9} + \frac{3a^2}{9} = \frac{13a^2}{9}$

Извлекая квадратный корень, получаем длину отрезка $MK$:

$MK = \sqrt{\frac{13a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{13}}{3}$

Ответ: $ \frac{a\sqrt{13}}{3} $