Номер 5, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Как найти модуль вектора, если известны его координаты?

Чтобы найти модуль (длину) вектора, если известны его координаты, нужно вычислить квадратный корень из суммы квадратов его координат. Этот принцип основан на теореме Пифагора и обобщается на пространства любой размерности.

Если вектор задан на плоскости (в двумерном пространстве) и имеет координаты $\vec{a} = \{x; y\}$, то его модуль, который обозначается как $|\vec{a}|$, находится по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Например, для вектора с координатами $\{3; 4\}$, его модуль будет равен $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Если вектор задан в трехмерном пространстве и имеет координаты $\vec{b} = \{x; y; z\}$, то формула для нахождения его модуля будет включать все три координаты:

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Например, для вектора с координатами $\{1; 2; -2\}$, его модуль будет равен $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

В общем случае для вектора в n-мерном пространстве с координатами $\vec{v} = \{v_1; v_2; \dots; v_n\}$ его модуль вычисляется как:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$

Таким образом, правило универсально: сложить квадраты всех координат и извлечь квадратный корень из результата.

Ответ: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Для вектора на плоскости с координатами $\{x; y\}$ его модуль вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Для вектора в пространстве с координатами $\{x; y; z\}$ его модуль вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.