Номер 1, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Объясните, что называют координатами данного вектора.

1. Координатами вектора в заданной системе координат называют упорядоченный набор чисел, которые однозначно определяют его направление и длину (модуль) относительно этой системы. Существует несколько эквивалентных способов их определения.

Способ 1: Через координаты начала и конца.

Если вектор задан своей начальной точкой $A(x_1, y_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2)$ на плоскости, то его координаты вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала:

$ \vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1\} $

Аналогично для трехмерного пространства с точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$:

$ \vec{AB} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\} $

Пример: Для вектора с началом в точке $A(3, 1)$ и концом в точке $B(5, 6)$ координаты будут $ \vec{AB} = \{5 - 3, 6 - 1\} = \{2, 5\} $.

Способ 2: Через разложение по базисным векторам.

В прямоугольной декартовой системе координат любой вектор $ \vec{a} $ можно единственным образом представить в виде суммы, компоненты которой — это единичные векторы (орты) координатных осей, умноженные на некоторые числа. На плоскости это орты $ \vec{i}=\{1, 0\} $ (для оси Ox) и $ \vec{j}=\{0, 1\} $ (для оси Oy). Разложение вектора $ \vec{a} $ по базису имеет вид:

$ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $

В трехмерном пространстве добавляется орт $ \vec{k}=\{0, 0, 1\} $ для оси Oz:

$ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k} $

Числа $ a_x, a_y $ (и $ a_z $ в пространстве) в этом разложении и называются координатами вектора $ \vec{a} $. Они представляют собой величины проекций вектора на соответствующие координатные оси. Таким образом, запись $ \vec{a} = \{a_x, a_y\} $ эквивалентна записи $ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $.

Связь с радиус-вектором.

Если отложить любой вектор от начала координат $O(0,0)$, то его конечная точка будет иметь координаты, совпадающие с координатами самого вектора. Такой вектор, начало которого находится в начале координат, называется радиус-вектором. Это показывает, что все равные векторы (сонаправленные и имеющие равную длину) обладают одинаковыми координатами, независимо от того, где они расположены.

Ответ: Координатами вектора в данной системе координат называют коэффициенты его разложения по базисным векторам этой системы (например, числа $ a_x $ и $ a_y $ в разложении $ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $). Эквивалентно, это упорядоченный набор чисел, равный разности соответствующих координат конца и начала вектора, или же координаты конечной точки вектора, если его начало совмещено с началом координат.