Номер 438, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

438. Известно, что $\vec{MO} = \vec{ON}$. Докажите, что точка $O$ – середина отрезка $MN$. Докажите обратное утверждение: если точка $O$ – середина отрезка $MN$, то $\vec{MO} = \vec{ON}$.

Докажите, что точка O — середина отрезка MN

По условию дано равенство векторов $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$.
По определению, два вектора равны, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.
1. Из равенства длин векторов следует, что $|\overrightarrow{MO}| = |\overrightarrow{ON}|$. Длина вектора равна длине отрезка, соединяющего его начало и конец. Следовательно, длины отрезков $MO$ и $ON$ также равны: $MO = ON$.
2. Из того, что векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{ON}$ сонаправлены и имеют общую точку $O$ (которая является концом первого вектора и началом второго), следует, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. При этом точка $O$ расположена между точками $M$ и $N$.
Таким образом, точка $O$ лежит на отрезке $MN$ и делит его на два равных отрезка ($MO = ON$). По определению, такая точка является серединой отрезка.
Следовательно, точка $O$ — середина отрезка $MN$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите обратное утверждение: если точка O — середина отрезка MN, то $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$

По условию, точка $O$ — середина отрезка $MN$.
По определению середины отрезка, это означает, что:
1. Точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ находится между точками $M$ и $N$.
2. Длины отрезков $MO$ и $ON$ равны: $MO = ON$.
Для доказательства равенства векторов $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$ необходимо показать, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
- Длина векторов: Длина вектора $\overrightarrow{MO}$ равна длине отрезка $MO$. Длина вектора $\overrightarrow{ON}$ равна длине отрезка $ON$. Поскольку по условию $MO = ON$, то и длины векторов равны: $|\overrightarrow{MO}| = |\overrightarrow{ON}|$.
- Направление векторов: Вектор $\overrightarrow{MO}$ направлен от точки $M$ к точке $O$. Вектор $\overrightarrow{ON}$ направлен от точки $O$ к точке $N$. Так как точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой в указанном порядке, оба вектора направлены в одну и ту же сторону вдоль этой прямой. Следовательно, векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{ON}$ сонаправлены.
Поскольку векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{ON}$ имеют равные длины и сонаправлены, они равны по определению равенства векторов: $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.