Номер 429, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

429. Известно, что $\vec{AB} = \vec{DC}$. Какие ещё равные векторы задают точки А, В, С и D?

Равенство векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ означает, что эти векторы сонаправлены (лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону) и имеют равные длины, то есть $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$.

Данное условие является признаком того, что четырехугольник $ABCD$ (при последовательном соединении вершин) является параллелограммом. Это утверждение справедливо и для вырожденного случая, когда все четыре точки лежат на одной прямой.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны попарно равны и параллельны. Кроме сторон $AB$ и $DC$, этому свойству удовлетворяет и пара сторон $AD$ и $BC$. Векторы, образованные этими сторонами, также будут равны, если учесть их направление. Вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $D$ будет равен вектору с началом в точке $B$ и концом в точке $C$. Таким образом, мы получаем еще одну пару равных векторов: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Кроме того, если два вектора равны, то и противоположные им векторы также равны между собой.

• Из исходного равенства $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ следует, что $-\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DC}$, что эквивалентно $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$.
• Из полученного нами равенства $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ следует, что $-\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{BC}$, что эквивалентно $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$.

Следовательно, помимо заданного в условии, точки $A, B, C, D$ определяют еще три пары равных векторов.

Ответ: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$.