Страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

409. Даны вектор $\vec{a}$ и точка A (рис. 97). Отложите от точки A вектор, равный вектору $\vec{a}$.

409.

Чтобы отложить от точки A вектор, равный вектору $\vec{a}$, нужно построить вектор, начинающийся в точке A, который имеет такую же длину и такое же направление, как и вектор $\vec{a}$. Это эквивалентно выполнению параллельного переноса вектора $\vec{a}$ так, чтобы его начало совпало с точкой A.

1. Анализ вектора $\vec{a}$.
Рассмотрим вектор $\vec{a}$ на клетчатой плоскости. Чтобы определить его характеристики, найдем его проекции на горизонтальную и вертикальную оси. Для этого посчитаем, на сколько клеток смещается конец вектора относительно его начала:

• По горизонтали: на 3 клетки вправо.
• По вертикали: на 1 клетку вниз.

Таким образом, вектор $\vec{a}$ можно задать координатами (компонентами) $\vec{a} = \{3; -1\}$.

2. Построение искомого вектора.
Теперь отложим от точки A вектор с такими же координатами. Пусть искомый вектор будет $\vec{AB}$. Его начало находится в точке A. Чтобы найти его конец, точку B, мы должны отступить от точки A на 3 клетки вправо и на 1 клетку вниз.
Выполнив это смещение, мы найдем точку B. Соединив точки A и B направленным отрезком (стрелкой от A к B), мы получим вектор $\vec{AB}$, который и будет равен вектору $\vec{a}$.

На рисунке ниже показан результат построения. Исходный вектор $\vec{a}$ показан черным цветом, а искомый вектор $\vec{AB}$, отложенный от точки A, — красным.

Ответ: Чтобы отложить от точки A вектор, равный вектору $\vec{a}$, необходимо отсчитать от точки A 3 клетки вправо и 1 клетку вниз, отметить полученную точку B и начертить вектор $\vec{AB}$.

410. Даны вектор $\vec{b}$ и точка $B$ (рис. 98).

Отложите от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{b}$.

Рис. 98

Чтобы отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{b}$, необходимо построить вектор, который имеет такое же направление и такую же длину (модуль), как и вектор $\vec{b}$, но с началом в точке $B$. Векторы равны, если равны их соответствующие координаты.

1. Определим координаты вектора $\vec{b}$. Посмотрим на рисунок. Начало вектора можно условно принять за начало отсчета. Конец вектора (указанный стрелкой) смещен относительно его начала на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Таким образом, координаты вектора $\vec{b}$ равны $(3; 1)$.

2. Построим искомый вектор с началом в точке $B$. Обозначим его, например, $\vec{BC}$. Так как по условию он должен быть равен вектору $\vec{b}$, его координаты также должны быть $(3; 1)$. Это означает, что его конец, точка $C$, смещен относительно его начала, точки $B$, на 3 единицы вправо и 1 единицу вверх.

3. Выполним построение на клетчатой бумаге: от точки $B$ отсчитаем 3 клетки вправо, а затем 1 клетку вверх. В этом месте поставим точку $C$. Соединим точку $B$ с точкой $C$ направленным отрезком (стрелкой от $B$ к $C$).

Наглядное построение показано на рисунке ниже:

Ответ:

Чтобы построить вектор, равный вектору $\vec{b}$ от точки $B$, нужно от точки $B$ сместиться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх, отметить полученную точку и провести вектор из точки $B$ в эту новую точку. Полученный вектор будет искомым.

411. Отметьте точки $A$ и $B$. Начертите вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{AB}$.

Для решения этой задачи необходимо использовать определение равных векторов. Два вектора называются равными, если их длины равны и они сонаправлены (т.е. лежат на одной или на параллельных прямых и направлены в одну сторону).

Условие $\vec{BC} = \vec{AB}$ означает, что вектор $\vec{BC}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{AB}$ и иметь такую же длину.

Рассмотрим, что это значит для построения:

1. Сонаправленность.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ имеют общую точку $B$, которая является концом первого вектора и началом второго. Чтобы они были сонаправлены, они должны лежать на одной прямой. При этом направление от точки $A$ к $B$ должно совпадать с направлением от $B$ к $C$. Это значит, что точка $C$ должна лежать на луче, продолжающем отрезок $AB$ за точку $B$.

2. Равенство длин.

Длина вектора $\vec{BC}$ должна быть равна длине вектора $\vec{AB}$. Это означает, что расстояние от точки $B$ до точки $C$ должно быть таким же, как расстояние от точки $A$ до точки $B$. Математически это записывается как $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$.

Таким образом, для построения искомого вектора $\vec{BC}$ необходимо выполнить следующие шаги:

Алгоритм построения:

1. Отметьте на плоскости две произвольные точки $A$ и $B$.

2. Начертите вектор $\vec{AB}$, проведя направленный отрезок из точки $A$ в точку $B$.

3. Проведите прямую через точки $A$ и $B$.

4. На этой прямой, от точки $B$ в направлении "от $A$", отложите отрезок $BC$, длина которого равна длине отрезка $AB$. Проще всего это сделать с помощью циркуля: установить раствор циркуля равным длине $AB$, затем, установив ножку циркуля в точку $B$, сделать засечку на прямой для нахождения точки $C$.

5. Направленный отрезок с началом в точке $B$ и концом в точке $C$ и будет искомым вектором $\vec{BC}$.

В результате такого построения точки $A$, $B$ и $C$ будут лежать на одной прямой, причём точка $B$ будет являться серединой отрезка $AC$.

Ответ: Чтобы начертить вектор $\vec{BC}$, равный вектору $\vec{AB}$, необходимо на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ отложить отрезок $BC$, равный по длине отрезку $AB$.

412. Начертите вектор $a$ и отметьте точки $M$ и $N$. Отложите от этих точек векторы, равные вектору $\vec{a}$.

Для решения данной задачи необходимо понимать, что такое равные векторы. Два ненулевых вектора называются равными, если они сонаправлены (то есть параллельны и направлены в одну и ту же сторону) и их длины (модули) равны.

Алгоритм построения будет следующим:

1. Начертим на плоскости произвольный вектор $\vec{a}$. Этот вектор задается направленным отрезком, у которого есть начало и конец. Он определяет направление и длину.

2. Отметим в произвольных местах плоскости две точки, $M$ и $N$.

3. Чтобы отложить от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{a}$, нужно построить новый вектор $\vec{MP}$ так, чтобы точка $M$ была его началом, и при этом выполнялись условия равенства векторов:

   • Вектор $\vec{MP}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{a}$ ($\vec{MP} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Это значит, что луч $MP$ должен быть параллелен лучу, на котором лежит вектор $\vec{a}$, и иметь то же направление.
   • Длина вектора $\vec{MP}$ должна быть равна длине вектора $\vec{a}$ ($|\vec{MP}| = |\vec{a}|$).

   Практически это делается так: через точку $M$ с помощью линейки и угольника (или двух линеек) проводится прямая, параллельная прямой, содержащей вектор $\vec{a}$. Затем с помощью циркуля или линейки на этой прямой от точки $M$ в нужном направлении откладывается отрезок $MP$, равный по длине вектору $\vec{a}$.

4. Аналогичная процедура выполняется для точки $N$. Строится вектор $\vec{NQ}$, который начинается в точке $N$, сонаправлен вектору $\vec{a}$ и равен ему по длине. В результате мы получим $\vec{NQ} = \vec{a}$.

Ниже представлен пример такого построения.

На рисунке черный вектор — это исходный вектор $\vec{a}$. Синий вектор $\vec{MP}$ отложен от точки $M$, а красный вектор $\vec{NQ}$ отложен от точки $N$. Все три вектора параллельны, имеют одинаковую длину и направление, следовательно, $\vec{a} = \vec{MP} = \vec{NQ}$.

Ответ:

Для построения векторов, равных заданному вектору $\vec{a}$ от точек $M$ и $N$, необходимо для каждой точки провести луч, параллельный и сонаправленный вектору $\vec{a}$, и отложить на этом луче от начальной точки ($M$ или $N$) отрезок, равный по длине вектору $\vec{a}$. В результате получаются векторы $\vec{MP}$ и $\vec{NQ}$, такие что $\vec{MP} = \vec{a}$ и $\vec{NQ} = \vec{a}$, как показано на рисунке.

413. Начертите треугольник $ABC$ и отметьте точку $M$ – середину стороны $BC$. От точки $M$ отложите вектор, равный вектору $\overrightarrow{AM}$, а от точки $B$ – вектор, равный вектору $\overrightarrow{AC}$. Докажите, что концы построенных векторов совпадают.

Дано:
Треугольник $ABC$.
Точка $M$ — середина стороны $BC$.

Построение:
1. От точки $M$ отложен вектор, равный вектору $\vec{AM}$. Обозначим конец этого вектора точкой $D$. Таким образом, $\vec{MD} = \vec{AM}$.
2. От точки $B$ отложен вектор, равный вектору $\vec{AC}$. Обозначим конец этого вектора точкой $E$. Таким образом, $\vec{BE} = \vec{AC}$.

Доказать:
Концы построенных векторов совпадают, то есть точка $D$ совпадает с точкой $E$.

Доказательство:

Для доказательства того, что точки $D$ и $E$ совпадают, достаточно доказать равенство векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AE}$, так как они отложены от одной точки $A$.

1. Выразим вектор $\vec{AD}$ через векторы сторон треугольника.
По правилу сложения векторов (правилу многоугольника): $\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{MD}$.
По условию построения, $\vec{MD} = \vec{AM}$.
Следовательно, $\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{AM} = 2\vec{AM}$.
Так как $M$ — середина отрезка $BC$, то вектор медианы $\vec{AM}$ можно выразить через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по формуле:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.
Подставим это выражение в формулу для $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = 2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{AC}$.

2. Теперь выразим вектор $\vec{AE}$ через векторы сторон треугольника.
По правилу сложения векторов (правилу треугольника): $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.
По условию построения, $\vec{BE} = \vec{AC}$.
Следовательно, $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

3. Сравним полученные выражения.
Мы получили, что $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$ и $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
Значит, $\vec{AD} = \vec{AE}$.
Поскольку векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AE}$ равны и начинаются в одной и той же точке $A$, их концы должны совпадать. Таким образом, точка $D$ совпадает с точкой $E$, что и требовалось доказать.

Ответ: Концы построенных векторов совпадают.

414. Начертите треугольник $ABC$. От точек $B$ и $C$ отложите векторы, соответственно равные векторам $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$. Докажите, что концы построенных векторов совпадают.

Начертим произвольный треугольник $ABC$.

1. Согласно условию, от точки $B$ нужно отложить вектор, равный вектору $\overline{AC}$. Пусть конец этого нового вектора будет точка $D$. Таким образом, мы имеем векторное равенство: $\overline{BD} = \overline{AC}$.

По определению, равные векторы сонаправлены и имеют одинаковую длину. Это означает, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны, а длины отрезков $AC$ и $BD$ равны.
$AC \parallel BD$ и $|AC| = |BD|$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Так как две его противоположные стороны ($AC$ и $BD$) параллельны и равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме $ABDC$ другие две противоположные стороны ($AB$ и $CD$) также параллельны и равны. Это означает, что векторы, образованные этими сторонами, равны: $\overline{AB} = \overline{CD}$.

2. Теперь выполним вторую часть условия: от точки $C$ отложим вектор, равный вектору $\overline{AB}$. Обозначим конец этого вектора точкой $E$. По построению имеем: $\overline{CE} = \overline{AB}$.

3. Сравним результаты, полученные в пунктах 1 и 2.
Из свойств параллелограмма $ABDC$ мы выяснили, что $\overline{CD} = \overline{AB}$.
По условию задачи, $\overline{CE} = \overline{AB}$.

Следовательно, мы можем утверждать, что $\overline{CD} = \overline{CE}$.

Два вектора, имеющие общее начало (в нашем случае это точка $C$), равны только в том случае, если их концы совпадают. Значит, точки $D$ и $E$ — это одна и та же точка.

Таким образом, мы доказали, что концы построенных векторов совпадают.

Ответ: концы построенных векторов совпадают, так как в обоих случаях построение приводит к одной и той же точке $D$, которая является четвертой вершиной параллелограмма $ABDC$.

415. Укажите равные векторы, начала и концы которых находятся в вершинах квадрата $ABCD$.

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). В квадрате ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это свойство является ключевым для нахождения равных векторов.

Рассмотрим пару противоположных сторон $AB$ и $DC$. Поскольку $AB \parallel DC$ и $AB = DC$, векторы, построенные на этих сторонах, будут иметь равные длины. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ также будут сонаправлены (например, при обходе вершин против часовой стрелки). Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Из этого равенства следует и равенство векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{BA} = \vec{CD}$.

Теперь рассмотрим другую пару противоположных сторон, $BC$ и $AD$. Поскольку $BC \parallel AD$ и $BC = AD$, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ будут равны по длине и сонаправлены. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{AD}$. Соответственно, равны и противоположные им векторы: $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Векторы, построенные на диагоналях квадрата ($AC$ и $BD$), имеют равные длины, но не являются параллельными (они перпендикулярны). Поэтому среди векторов $\vec{AC}$, $\vec{CA}$, $\vec{BD}$, $\vec{DB}$ равных нет.

Таким образом, мы нашли все пары равных векторов, начала и концы которых находятся в вершинах квадрата.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{DC}$; $\vec{BA} = \vec{CD}$; $\vec{BC} = \vec{AD}$; $\vec{CB} = \vec{DA}$.

416. В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Укажите равные векторы, начала и концы которых находятся в точках $A, B, C, D, O$.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. Для нахождения равных векторов в ромбе $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, воспользуемся свойствами ромба.

1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны параллельны и равны. Из этого свойства следует равенство векторов, соответствующих этим сторонам:
- Стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, поэтому векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположные стороны: $\vec{BA} = \vec{CD}$.
- Стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны, поэтому векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположные стороны: $\vec{DA} = \vec{CB}$.

2. Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам. Из этого свойства следует равенство векторов, являющихся половинами диагоналей:
- Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой, сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{AO} = \vec{OC}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{CO} = \vec{OA}$.
- Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому длины отрезков $BO$ и $OD$ равны. Векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ лежат на одной прямой, сонаправлены и равны по длине. Следовательно, $\vec{BO} = \vec{OD}$.
- Аналогично для векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{DO} = \vec{OB}$.

Ответ: равными являются следующие пары векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$, $\vec{AD} = \vec{BC}$, $\vec{DA} = \vec{CB}$, $\vec{AO} = \vec{OC}$, $\vec{CO} = \vec{OA}$, $\vec{BO} = \vec{OD}$, $\vec{DO} = \vec{OB}$.

417. Какие из векторов, изображённых на рисунке 99:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны?

Рис. 99

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$, $\vec{g}$, $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$

Для решения задачи определим координаты каждого вектора на сетке, приняв сторону одной клетки за единицу.

• $ \vec{a} = (2, 2) $
• $ \vec{b} = (2, 2) $
• $ \vec{c} = (3, 0) $
• $ \vec{d} = (3, 0) $
• $ \vec{e} = (0, 2) $
• $ \vec{f} = (0, -4) $
• $ \vec{g} = (3, 2) $
• $ \vec{m} = (-2, 0) $
• $ \vec{n} = (0, 2) $
• $ \vec{p} = (2, 1) $

1) равны

Равные векторы — это векторы, которые имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны.

Сравнивая координаты векторов, находим следующие пары равных векторов:

• $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, так как их координаты $(2, 2)$ совпадают.
• $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $, так как их координаты $(3, 0)$ совпадают.
• $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $, так как их координаты $(0, 2)$ совпадают.

Ответ: $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $; $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $; $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $.

2) сонаправлены

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону. Математически, вектор $ \vec{u} $ сонаправлен вектору $ \vec{v} $, если существует такое положительное число $ k $, что $ \vec{u} = k \cdot \vec{v} $. Все равные векторы являются сонаправленными. В данном наборе векторов других сонаправленных пар, кроме равных, нет.

Сонаправленными являются:

• $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ (так как $ \vec{a} = \vec{b} $)
• $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $ (так как $ \vec{c} = \vec{d} $)
• $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $ (так как $ \vec{e} = \vec{n} $)

Ответ: $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $; $ \vec{c} $ и $ \vec{d} $; $ \vec{e} $ и $ \vec{n} $.

3) противоположно направлены

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны. Математически, вектор $ \vec{u} $ противоположно направлен вектору $ \vec{v} $, если существует такое отрицательное число $ k $, что $ \vec{u} = k \cdot \vec{v} $.

Найдем такие пары:

• Векторы $ \vec{e}=(0, 2) $ и $ \vec{f}=(0, -4) $. Они оба вертикальны, но направлены в разные стороны. Связь между ними: $ \vec{f} = -2 \cdot \vec{e} $. Так как $ \vec{e} = \vec{n} $, то пара $ \vec{n} $ и $ \vec{f} $ также противоположно направлена.
• Векторы $ \vec{c}=(3, 0) $ и $ \vec{m}=(-2, 0) $. Они оба горизонтальны, но направлены в разные стороны. Связь между ними: $ \vec{m} = -\frac{2}{3} \cdot \vec{c} $. Так как $ \vec{c} = \vec{d} $, то пара $ \vec{d} $ и $ \vec{m} $ также противоположно направлена.

Ответ: $ \vec{e} $ и $ \vec{f} $; $ \vec{n} $ и $ \vec{f} $; $ \vec{c} $ и $ \vec{m} $; $ \vec{d} $ и $ \vec{m} $.

4) коллинеарны

Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. К ним относятся как сонаправленные, так и противоположно направленные векторы. Объединим векторы из пунктов 2 и 3 в группы.

• Группа 1 (параллельные горизонтальной оси): $ \vec{c} $, $ \vec{d} $, $ \vec{m} $.
• Группа 2 (параллельные вертикальной оси): $ \vec{e} $, $ \vec{f} $, $ \vec{n} $.
• Группа 3 (сонаправленные, не параллельные осям): $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Ответ: $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $; $ \vec{c} $, $ \vec{d} $ и $ \vec{m} $; $ \vec{e} $, $ \vec{f} $ и $ \vec{n} $.