Номер 10, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Какие векторы называют коллинеарными?

Коллинеарными называют ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.

Геометрическое определение
С геометрической точки зрения, два вектора коллинеарны, если они параллельны одной и той же прямой. Это означает, что если отложить эти векторы от одной точки, они будут лежать на одной прямой.

Коллинеарные векторы могут быть двух типов:

• Сонаправленные векторы: это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковое направление. Их обозначают как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленные векторы: это коллинеарные векторы, которые имеют противоположные направления. Их обозначают как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Алгебраическое определение
Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство:
$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$
При этом:

• Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
• Если $k = 0$, то вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором.

Условие коллинеарности в координатах
Условие коллинеарности для векторов, заданных своими координатами, заключается в пропорциональности их соответствующих координат.

• Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ условие коллинеарности имеет вид:
  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$
  (при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$). Более универсальная запись, работающая и при нулевых координатах: $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
• Для векторов в пространстве $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ условие коллинеарности имеет вид:
  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$
  (при условии, что знаменатели не равны нулю).

Пример:
Векторы $\vec{c} = (3; -6)$ и $\vec{d} = (1; -2)$ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны: $\frac{3}{1} = \frac{-6}{-2} = 3$. В данном случае $\vec{c} = 3 \cdot \vec{d}$, число $k=3 > 0$, следовательно, векторы сонаправлены.

Ответ: Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.