Номер 10, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Чему равно расстояние между точкой пересечения прямых $x - y = 4$ и $x + 3y = 12$ и точкой $M (1; 7)$?

А) $5$

Б) $50$

В) $5\sqrt{2}$

Г) $2\sqrt{5}$

Задача состоит из двух шагов. Сначала необходимо найти координаты точки пересечения заданных прямых, а затем вычислить расстояние от этой точки до точки $M(1; 7)$.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Для нахождения точки пересечения нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые: $$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + 3y = 12 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 4$.
Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(y + 4) + 3y = 12$
$4y + 4 = 12$
$4y = 12 - 4$
$4y = 8$
$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение $x = y + 4$:
$x = 2 + 4 = 6$

Таким образом, точка пересечения прямых, назовем ее $P$, имеет координаты $(6; 2)$.

2. Вычисление расстояния между точками

Теперь найдем расстояние $d$ между точкой пересечения $P(6; 2)$ и точкой $M(1; 7)$. Формула для вычисления расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $P$ и $M$ в формулу:
$d = \sqrt{(1 - 6)^2 + (7 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(-5)^2 + 5^2}$
$d = \sqrt{25 + 25}$
$d = \sqrt{50}$

Упростим полученный корень:
$d = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Полученное расстояние равно $5\sqrt{2}$. Это соответствует варианту ответа В).

Ответ: $5\sqrt{2}$