Номер 4, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Центром какой из данных окружностей является начало координат?

А) $x^2 + (y - 1)^2 = 1$

Б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$

В) $x^2 + y^2 = 1$

Г) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $r$ записывается в виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Начало координат — это точка с координатами $(0; 0)$. Для того чтобы центр окружности совпадал с началом координат, необходимо, чтобы в уравнении окружности $a=0$ и $b=0$.

Подставив эти значения в каноническое уравнение, получим уравнение окружности с центром в начале координат: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = r^2$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

А) $x^2 + (y - 1)^2 = 1$. Это уравнение соответствует окружности с центром в точке $(0; 1)$, так как $a=0$ и $b=1$. Этот центр не совпадает с началом координат.

Б) $(x - 1)^2 + y^2 = 1$. Это уравнение соответствует окружности с центром в точке $(1; 0)$, так как $a=1$ и $b=0$. Этот центр не совпадает с началом координат.

В) $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение соответствует виду $x^2 + y^2 = r^2$, где $a=0$ и $b=0$. Центр этой окружности находится в точке $(0; 0)$, то есть в начале координат.

Г) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$. Это уравнение соответствует окружности с центром в точке $(1; 1)$, так как $a=1$ и $b=1$. Этот центр не совпадает с началом координат.

Таким образом, единственное уравнение, описывающее окружность с центром в начале координат, это $x^2 + y^2 = 1$.

Ответ: В