Номер 8, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Чему равны координаты точки оси ординат, равноудалённой от точек $A(-3; 4)$ и $B(1; 8)$?

А) $(-5; 0)$

Б) $(0; -5)$

В) $(5; 0)$

Г) $(0; 5)$

Пусть искомая точка C лежит на оси ординат. Любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату x), равную нулю. Следовательно, координаты точки C можно записать как $(0; y)$.

По условию задачи, точка C равноудалена от точек $A(-3; 4)$ и $B(1; 8)$. Это означает, что расстояние от C до A равно расстоянию от C до B, то есть $AC = BC$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, удобнее использовать равенство квадратов расстояний: $AC^2 = BC^2$.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $AC^2$ между точками $A(-3; 4)$ и $C(0; y)$:
$AC^2 = (0 - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 3^2 + (y - 4)^2 = 9 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 8y + 25$.

Теперь найдем квадрат расстояния $BC^2$ между точками $B(1; 8)$ и $C(0; y)$:
$BC^2 = (0 - 1)^2 + (y - 8)^2 = (-1)^2 + (y - 8)^2 = 1 + y^2 - 16y + 64 = y^2 - 16y + 65$.

Приравняем квадраты расстояний $AC^2$ и $BC^2$ и решим полученное уравнение относительно y:
$y^2 - 8y + 25 = y^2 - 16y + 65$
Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$-8y + 25 = -16y + 65$
Перенесем слагаемые с y в левую часть, а числа — в правую:
$16y - 8y = 65 - 25$
$8y = 40$
$y = \frac{40}{8}$
$y = 5$

Таким образом, ордината искомой точки равна 5. Поскольку точка C лежит на оси ординат, её абсцисса равна 0. Координаты точки C — $(0; 5)$.
Среди предложенных вариантов ответа этот соответствует варианту Г.

Ответ: Г) (0; 5)