Номер 7, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Четырёхугольник ABCD – параллелограмм, $B (-2; 3)$, $C (10; 9)$, $D (7; 0)$. Чему равны координаты вершины A?

А) $(1; 6)$

Б) $(19; -3)$

В) $(-5; -6)$

Г) $(6; 5)$

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что координаты середины диагонали $AC$ совпадают с координатами середины диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $A$ будут $(x_A, y_A)$.

Сначала найдём координаты середины $M$ диагонали $BD$, используя известные координаты точек $B(-2; 3)$ и $D(7; 0)$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$:
$x_M = \frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2}$
$y_M = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}$
Таким образом, точка пересечения диагоналей $M$ имеет координаты $(\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$.

Точка $M$ также является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точек $A(x_A, y_A)$ и $C(10; 9)$, мы можем составить уравнения:
$x_M = \frac{x_A + 10}{2} = \frac{5}{2}$
$y_M = \frac{y_A + 9}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь решим получившуюся систему уравнений, чтобы найти $x_A$ и $y_A$:
Из первого уравнения для координаты $x$:
$x_A + 10 = 5$
$x_A = 5 - 10 = -5$
Из второго уравнения для координаты $y$:
$y_A + 9 = 3$
$y_A = 3 - 9 = -6$

Следовательно, координаты вершины $A$ равны $(-5; -6)$. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: (-5; -6)