Номер 12, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Чему равен радиус окружности $x^2 + y^2 + 14y - 12x + 78 = 0$?

А) $\sqrt{7}$

Б) 7

В) 14

Г) $\sqrt{14}$

Чтобы найти радиус окружности, необходимо привести ее уравнение к каноническому виду: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Исходное уравнение окружности: $x^2 + y^2 + 14y - 12x + 78 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$, чтобы выделить полные квадраты:
$(x^2 - 12x) + (y^2 + 14y) + 78 = 0$.

Для выделения полного квадрата используется формула $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Выделим полный квадрат для выражения с $x$:
$x^2 - 12x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $6^2 = 36$.
$x^2 - 12x + 36 - 36 = (x - 6)^2 - 36$.

Выделим полный квадрат для выражения с $y$:
$y^2 + 14y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $7^2 = 49$.
$y^2 + 14y + 49 - 49 = (y + 7)^2 - 49$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$((x - 6)^2 - 36) + ((y + 7)^2 - 49) + 78 = 0$.

Теперь упростим уравнение:
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 36 - 49 + 78 = 0$
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 85 + 78 = 0$
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 - 7 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, чтобы получить канонический вид:
$(x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 7$.

Сравнивая это уравнение с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, видим, что квадрат радиуса $R^2$ равен 7.
$R^2 = 7$.

Следовательно, радиус окружности $R$ равен:
$R = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$