Номер 405, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

405. Медианы равнобедренного треугольника равны 15 см, 15 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC$. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Следовательно, медианы к сторонам $AB$ и $AC$ равны 15 см, а медиана, проведенная к основанию $BC$, равна 18 см.

Обозначим медианы: $m_a = AD = 18$ см (медиана к основанию $BC$), $m_b = BE = 15$ см (медиана к стороне $AC$) и $m_c = CF = 15$ см (медиана к стороне $AB$).

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке $G$ (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем длины отрезков, на которые точка $G$ делит медианы:

Для медианы $AD$ ($m_a=18$ см):
$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ см.
$GD = \frac{1}{3} AD = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$ см.

Для медиан $BE$ и $CF$ ($m_b=m_c=15$ см):
$BG = \frac{2}{3} BE = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.
$CG = \frac{2}{3} CF = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Рассмотрим треугольник $BGC$. Его стороны $BG=10$ см и $CG=10$ см, значит, он равнобедренный.

В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $AD$, проведенная к основанию, является также и высотой, то есть $AD \perp BC$. Так как точка $G$ лежит на отрезке $AD$, то и $GD \perp BC$. Таким образом, отрезок $GD$ является высотой в треугольнике $BGC$, проведенной к основанию $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $GDC$. Его гипотенуза $GC = 10$ см, а один из катетов $GD = 6$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $DC$:

$GC^2 = GD^2 + DC^2$

$10^2 = 6^2 + DC^2$

$100 = 36 + DC^2$

$DC^2 = 100 - 36 = 64$

$DC = \sqrt{64} = 8$ см.

Точка $D$ является серединой основания $BC$, поэтому длина всего основания равна:

$BC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ABC$, зная его основание $BC=16$ см и высоту $AD=18$ см, проведенную к этому основанию.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18 = 8 \cdot 18 = 144$ см$^2$.

Ответ: 144 см$^2$.