Номер 398, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

398. Определите, параллельны ли прямые:

1) $2x - 5y = 9$ и $5y - 2x = 1$;
2) $8x + 12y = 15$ и $4x + 6y = 9$;
3) $7x - 2y = 12$ и $7x - 3y = 12$;
4) $3x + 2y = 3$ и $6x + 4y = 6$.

Для определения, параллельны ли две прямые, заданные уравнениями вида $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$, можно использовать соотношение их коэффициентов. Прямые параллельны, если отношение коэффициентов при $x$ равно отношению коэффициентов при $y$, но не равно отношению свободных членов. Математически это выглядит так:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, то прямые совпадают.

Если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, то прямые пересекаются.

1) $2x - 5y = 9$ и $5y - 2x = 1$

Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:
$5y - 2x = 1 \implies -2x + 5y = 1$.

Теперь сравним коэффициенты уравнений $2x - 5y = 9$ (где $A_1 = 2, B_1 = -5, C_1 = 9$) и $-2x + 5y = 1$ (где $A_2 = -2, B_2 = 5, C_2 = 1$).

Найдем отношения коэффициентов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-2} = -1$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-5}{5} = -1$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{9}{1} = 9$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ (поскольку $-1 \neq 9$), прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

2) $8x + 12y = 15$ и $4x + 6y = 9$

Сравним коэффициенты уравнений. Для $8x + 12y = 15$ имеем $A_1 = 8, B_1 = 12, C_1 = 15$. Для $4x + 6y = 9$ имеем $A_2 = 4, B_2 = 6, C_2 = 9$.

Проверяем соотношения:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{8}{4} = 2$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{12}{6} = 2$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ (поскольку $2 \neq \frac{5}{3}$), прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

3) $7x - 2y = 12$ и $7x - 3y = 12$

Сравним коэффициенты уравнений. Для $7x - 2y = 12$ имеем $A_1 = 7, B_1 = -2, C_1 = 12$. Для $7x - 3y = 12$ имеем $A_2 = 7, B_2 = -3, C_2 = 12$.

Проверяем соотношения:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{7} = 1$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$ (поскольку $1 \neq \frac{2}{3}$), прямые не параллельны, а пересекаются.

Ответ: прямые не параллельны.

4) $3x + 2y = 3$ и $6x + 4y = 6$

Сравним коэффициенты уравнений. Для $3x + 2y = 3$ имеем $A_1 = 3, B_1 = 2, C_1 = 3$. Для $6x + 4y = 6$ имеем $A_2 = 6, B_2 = 4, C_2 = 6$.

Проверяем соотношения:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, данные уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть прямые совпадают.

Ответ: прямые не параллельны (они совпадают).