Номер 404, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

404. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба на отрезки 7 см и 18 см, считая от вершины острого угла. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб ABCD, где ∠B — тупой угол, а ∠A — острый угол. Из вершины B проведена высота BH на сторону AD. Согласно условию задачи, эта высота делит сторону AD на отрезки AH и HD. Поскольку отсчет ведется от вершины острого угла A, то $AH = 7$ см и $HD = 18$ см.

1. Нахождение стороны ромба

Все стороны ромба равны. Найдем длину стороны a, которая равна длине отрезка AD:

$a = AD = AH + HD = 7 \text{ см} + 18 \text{ см} = 25 \text{ см}$.

Таким образом, $AB = BC = CD = DA = 25$ см.

2. Нахождение высоты ромба

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором гипотенуза AB равна стороне ромба (25 см), а катет AH равен 7 см. Найдем длину второго катета BH, который является высотой ромба, по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \text{ см}^2$.

$BH = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Нахождение диагоналей ромба

Теперь можно найти длины диагоналей BD и AC.

Найдем диагональ BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Его катеты $BH = 24$ см и $HD = 18$ см. Гипотенузой является диагональ BD. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 \text{ см}^2$.

$BD = \sqrt{900} = 30$ см.

Для нахождения второй диагонали AC воспользуемся свойством ромба: сумма квадратов диагоналей равна учетверенному квадрату его стороны ($d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$).

$AC^2 + BD^2 = 4 \cdot a^2$

$AC^2 + 30^2 = 4 \cdot 25^2$

$AC^2 + 900 = 4 \cdot 625$

$AC^2 + 900 = 2500$

$AC^2 = 2500 - 900 = 1600 \text{ см}^2$.

$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Ответ: диагонали ромба равны 30 см и 40 см.