Номер 397, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

397. Составьте уравнение прямой, изображённой на рисунке 83.

Рис. 83

a

Прямая пересекает ось y в точке 3 и образует угол $30^\circ$ с осью x.

б

Прямая пересекает ось x в точке $2\sqrt{3}$ и образует угол $30^\circ$ с осью x.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

а

Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, следовательно, свободный член $b=3$. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $30^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Теперь, подставив значения $k$ и $b$ в общее уравнение прямой, получаем: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$.

б

Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $x$ в точке $(2\sqrt{3}, 0)$. Угол, который прямая образует с положительным направлением оси $x$, является тупым, так как прямая убывает. Этот угол $\alpha$ смежен с углом $30^\circ$, показанным на рисунке. Следовательно, $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение прямой принимает вид $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$. Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся тем, что прямая проходит через точку $(2\sqrt{3}, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (2\sqrt{3}) + b$ $0 = -\frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{3} + b$ $0 = -\frac{2 \cdot 3}{3} + b$ $0 = -2 + b$ Отсюда находим $b=2$. Итак, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$.