Номер 402, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

402. 1) Составьте уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $y = -x + 3$ и проходит через точку A $(1; 5)$.

2) Докажите, что прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1k_2 = -1$.

1)

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Дана прямая $y = -x + 3$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -1$.

Искомая прямая перпендикулярна данной прямой. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, выражается формулой $k_1 \cdot k_2 = -1$ (это утверждение доказывается в пункте 2).

Пусть $k_2$ — угловой коэффициент искомой прямой. Тогда: $k_1 \cdot k_2 = -1$ $(-1) \cdot k_2 = -1$ $k_2 = 1$

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, или $y = x + b$.

Известно, что эта прямая проходит через точку $A(1; 5)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим $x = 1$ и $y = 5$ в уравнение $y = x + b$: $5 = 1 + b$

Отсюда находим $b$: $b = 5 - 1 = 4$

Подставляем найденное значение $b$ в уравнение прямой. Окончательное уравнение искомой прямой: $y = x + 4$.

Ответ: $y = x + 4$

2)

Докажем, что прямые $l_1$ с уравнением $y = k_1x + b_1$ и $l_2$ с уравнением $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1k_2 = -1$.

Используем векторный подход. Направляющий вектор для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$, можно определить, взяв две любые точки на этой прямой. Пусть первая точка имеет координату $x_A = 0$, тогда $y_A = k \cdot 0 + b = b$. Точка $A(0, b)$. Пусть вторая точка имеет координату $x_B = 1$, тогда $y_B = k \cdot 1 + b = k + b$. Точка $B(1, k+b)$. Направляющий вектор $\vec{v}$ этой прямой можно найти как вектор $\vec{AB}$: $\vec{v} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (1 - 0, (k+b) - b) = (1, k)$.

Таким образом, для прямой $l_1: y = k_1x + b_1$ направляющий вектор равен $\vec{v_1} = (1, k_1)$. Для прямой $l_2: y = k_2x + b_2$ направляющий вектор равен $\vec{v_2} = (1, k_2)$.

Прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ ортогональны (перпендикулярны). Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + k_1 \cdot k_2 = 1 + k_1k_2$.

Условие перпендикулярности прямых $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ эквивалентно равенству: $1 + k_1k_2 = 0$

Отсюда получаем: $k_1k_2 = -1$

Так как все преобразования были эквивалентными ("тогда и только тогда"), мы доказали, что перпендикулярность прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ равносильна условию $k_1k_2 = -1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.