Номер 403, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения

403. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$ (рис. 84). Докажите, что $\angle AOB = (\angle C + \angle D)/2$.

403.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

Поскольку $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ четырехугольника $ABCD$, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Подставим эти значения в формулу суммы углов треугольника $AOB$:

$\angle AOB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$

Выразим отсюда угол $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$

Сумма углов выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Отсюда выразим сумму углов $A$ и $B$:

$\angle A + \angle B = 360^\circ - (\angle C + \angle D)$

Подставим это выражение в формулу для угла $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \frac{1}{2}(360^\circ - (\angle C + \angle D))$

$\angle AOB = 180^\circ - (180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2})$

$\angle AOB = 180^\circ - 180^\circ + \frac{\angle C + \angle D}{2}$

$\angle AOB = \frac{\angle C + \angle D}{2}$

Ответ: Доказано, что угол $AOB$ равен полусумме углов $C$ и $D$.

404.

Пусть дан ромб $ABCD$, где $\angle B$ и $\angle D$ — тупые, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины тупого угла $B$ на сторону $AD$. По условию, точка $H$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 7$ см и $HD = 18$ см, считая от вершины острого угла $A$.

1. Найдем сторону ромба. Длина стороны $a$ равна сумме длин отрезков, на которые высота делит сторону:

$a = AD = AH + HD = 7 + 18 = 25$ см.

Так как все стороны ромба равны, то $AB = BC = CD = DA = 25$ см.

2. Найдем высоту ромба $BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$BH = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Найдем диагонали ромба $BD$ и $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$ (где $\angle BHD = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем меньшую диагональ $BD$:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$

$BD = \sqrt{900} = 30$ см.

4. Для нахождения большей диагонали $AC$ воспользуемся свойством диагоналей ромба: сумма квадратов диагоналей равна учетверенному квадрату стороны.

$AC^2 + BD^2 = 4a^2$

$AC^2 + 30^2 = 4 \cdot 25^2$

$AC^2 + 900 = 4 \cdot 625$

$AC^2 + 900 = 2500$

$AC^2 = 2500 - 900 = 1600$

$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Ответ: 30 см и 40 см.