Страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

397. Составьте уравнение прямой, изображённой на рисунке 83.

Рис. 83

a

Прямая пересекает ось y в точке 3 и образует угол $30^\circ$ с осью x.

б

Прямая пересекает ось x в точке $2\sqrt{3}$ и образует угол $30^\circ$ с осью x.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$, а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

а

Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, следовательно, свободный член $b=3$. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $30^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Теперь, подставив значения $k$ и $b$ в общее уравнение прямой, получаем: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 3$.

б

Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $x$ в точке $(2\sqrt{3}, 0)$. Угол, который прямая образует с положительным направлением оси $x$, является тупым, так как прямая убывает. Этот угол $\alpha$ смежен с углом $30^\circ$, показанным на рисунке. Следовательно, $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение прямой принимает вид $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + b$. Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся тем, что прямая проходит через точку $(2\sqrt{3}, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (2\sqrt{3}) + b$ $0 = -\frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{3} + b$ $0 = -\frac{2 \cdot 3}{3} + b$ $0 = -2 + b$ Отсюда находим $b=2$. Итак, искомое уравнение прямой: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$.

398. Определите, параллельны ли прямые:

1) $2x - 5y = 9$ и $5y - 2x = 1$;
2) $8x + 12y = 15$ и $4x + 6y = 9$;
3) $7x - 2y = 12$ и $7x - 3y = 12$;
4) $3x + 2y = 3$ и $6x + 4y = 6$.

Для определения, параллельны ли две прямые, заданные уравнениями вида $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$, можно использовать соотношение их коэффициентов. Прямые параллельны, если отношение коэффициентов при $x$ равно отношению коэффициентов при $y$, но не равно отношению свободных членов. Математически это выглядит так:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$

Если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, то прямые совпадают.

Если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, то прямые пересекаются.

1) $2x - 5y = 9$ и $5y - 2x = 1$

Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:
$5y - 2x = 1 \implies -2x + 5y = 1$.

Теперь сравним коэффициенты уравнений $2x - 5y = 9$ (где $A_1 = 2, B_1 = -5, C_1 = 9$) и $-2x + 5y = 1$ (где $A_2 = -2, B_2 = 5, C_2 = 1$).

Найдем отношения коэффициентов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-2} = -1$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-5}{5} = -1$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{9}{1} = 9$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ (поскольку $-1 \neq 9$), прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

2) $8x + 12y = 15$ и $4x + 6y = 9$

Сравним коэффициенты уравнений. Для $8x + 12y = 15$ имеем $A_1 = 8, B_1 = 12, C_1 = 15$. Для $4x + 6y = 9$ имеем $A_2 = 4, B_2 = 6, C_2 = 9$.

Проверяем соотношения:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{8}{4} = 2$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{12}{6} = 2$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ (поскольку $2 \neq \frac{5}{3}$), прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

3) $7x - 2y = 12$ и $7x - 3y = 12$

Сравним коэффициенты уравнений. Для $7x - 2y = 12$ имеем $A_1 = 7, B_1 = -2, C_1 = 12$. Для $7x - 3y = 12$ имеем $A_2 = 7, B_2 = -3, C_2 = 12$.

Проверяем соотношения:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{7} = 1$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$ (поскольку $1 \neq \frac{2}{3}$), прямые не параллельны, а пересекаются.

Ответ: прямые не параллельны.

4) $3x + 2y = 3$ и $6x + 4y = 6$

Сравним коэффициенты уравнений. Для $3x + 2y = 3$ имеем $A_1 = 3, B_1 = 2, C_1 = 3$. Для $6x + 4y = 6$ имеем $A_2 = 6, B_2 = 4, C_2 = 6$.

Проверяем соотношения:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, данные уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть прямые совпадают.

Ответ: прямые не параллельны (они совпадают).

399. Докажите, что прямые $7x - 6y = 3$ и $6y - 7x = 6$ параллельны.

Для того чтобы доказать, что две прямые параллельны, необходимо привести их уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ является угловым коэффициентом, а $b$ — точкой пересечения с осью ординат. Прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а точки пересечения $b$ — различны.

Рассмотрим первое уравнение: $7x - 6y = 3$.
Выразим из него $y$:
$-6y = -7x + 3$
$y = \frac{-7x + 3}{-6}$
$y = \frac{7}{6}x - \frac{3}{6}$
$y = \frac{7}{6}x - \frac{1}{2}$
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = \frac{7}{6}$, а свободный член $b_1 = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим второе уравнение: $6y - 7x = 6$.
Выразим из него $y$:
$6y = 7x + 6$
$y = \frac{7x + 6}{6}$
$y = \frac{7}{6}x + 1$
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = \frac{7}{6}$, а свободный член $b_2 = 1$.

Сравнивая полученные уравнения, мы видим, что угловые коэффициенты прямых равны: $k_1 = k_2 = \frac{7}{6}$.
При этом их свободные члены различны: $b_1 = -\frac{1}{2} \neq b_2 = 1$.
Поскольку угловые коэффициенты прямых равны, а свободные члены нет, прямые не совпадают, а значит, они параллельны.

Ответ: Прямые $7x - 6y = 3$ и $6y - 7x = 6$ параллельны, так как их угловые коэффициенты равны ($\frac{7}{6}$), а свободные члены, отвечающие за сдвиг по оси $y$, различны ($-\frac{1}{2}$ и $1$).

400. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 4x + 2$ и пересекает прямую $y = -8x + 9$ в точке, принадлежащей оси ординат.

Для составления уравнения прямой нам необходимо найти ее угловой коэффициент $k$ и коэффициент $b$ в уравнении вида $y = kx + b$.

1. Нахождение углового коэффициента $k$

По условию, искомая прямая параллельна прямой $y = 4x + 2$. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 2$ равен 4. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой $k$ также равен 4. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 4x + b$.

2. Нахождение коэффициента $b$

По условию, искомая прямая пересекает прямую $y = -8x + 9$ в точке, принадлежащей оси ординат (оси $Oy$). Точка, лежащая на оси ординат, имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю.

Найдем точку пересечения прямой $y = -8x + 9$ с осью ординат. Для этого подставим значение $x = 0$ в ее уравнение:

$y = -8 \cdot 0 + 9 = 9$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(0; 9)$.

Поскольку искомая прямая $y = 4x + b$ проходит через эту же точку, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты точки $(0; 9)$ в уравнение искомой прямой, чтобы найти $b$:

$9 = 4 \cdot 0 + b$

$9 = 0 + b$

$b = 9$

3. Составление уравнения прямой

Теперь, когда мы нашли угловой коэффициент $k=4$ и коэффициент $b=9$, мы можем записать итоговое уравнение прямой, подставив эти значения в общую формулу $y = kx + b$.

Ответ: $y = 4x + 9$

401. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 3x + 4$ и пересекает прямую $y = -4x + 16$ в точке, принадлежащей оси абсцисс.

Для решения этой задачи нам нужно выполнить несколько шагов. Сначала мы определим угловой коэффициент искомой прямой, затем найдем точку, через которую она проходит, и, наконец, составим полное уравнение.

1. Нахождение углового коэффициента искомой прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент.

По условию, искомая прямая параллельна прямой $y = 3x + 4$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 4$ равен $k_1 = 3$.
Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой $k$ также равен 3.

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 3x + b$. Для нахождения полного уравнения осталось определить значение $b$.

2. Нахождение точки, через которую проходит искомая прямая

По условию, искомая прямая пересекает прямую $y = -4x + 16$ в точке, принадлежащей оси абсцисс (оси $OX$).

Любая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет координату $y$, равную нулю. Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим $y = 0$ в уравнение прямой $y = -4x + 16$:

$0 = -4x + 16$

$4x = 16$

$x = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, искомая прямая проходит через точку с координатами $(4; 0)$.

3. Составление уравнения искомой прямой

Мы знаем, что уравнение искомой прямой имеет вид $y = 3x + b$ и что она проходит через точку $(4; 0)$. Чтобы найти коэффициент $b$, подставим координаты этой точки в уравнение:

$0 = 3 \cdot 4 + b$

$0 = 12 + b$

$b = -12$

Теперь, зная угловой коэффициент $k=3$ и свободный член $b=-12$, мы можем записать окончательное уравнение прямой.

Ответ: $y = 3x - 12$

402. 1) Составьте уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $y = -x + 3$ и проходит через точку A $(1; 5)$.

2) Докажите, что прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1k_2 = -1$.

1)

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Дана прямая $y = -x + 3$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -1$.

Искомая прямая перпендикулярна данной прямой. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, выражается формулой $k_1 \cdot k_2 = -1$ (это утверждение доказывается в пункте 2).

Пусть $k_2$ — угловой коэффициент искомой прямой. Тогда: $k_1 \cdot k_2 = -1$ $(-1) \cdot k_2 = -1$ $k_2 = 1$

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, или $y = x + b$.

Известно, что эта прямая проходит через точку $A(1; 5)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим $x = 1$ и $y = 5$ в уравнение $y = x + b$: $5 = 1 + b$

Отсюда находим $b$: $b = 5 - 1 = 4$

Подставляем найденное значение $b$ в уравнение прямой. Окончательное уравнение искомой прямой: $y = x + 4$.

Ответ: $y = x + 4$

2)

Докажем, что прямые $l_1$ с уравнением $y = k_1x + b_1$ и $l_2$ с уравнением $y = k_2x + b_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1k_2 = -1$.

Используем векторный подход. Направляющий вектор для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$, можно определить, взяв две любые точки на этой прямой. Пусть первая точка имеет координату $x_A = 0$, тогда $y_A = k \cdot 0 + b = b$. Точка $A(0, b)$. Пусть вторая точка имеет координату $x_B = 1$, тогда $y_B = k \cdot 1 + b = k + b$. Точка $B(1, k+b)$. Направляющий вектор $\vec{v}$ этой прямой можно найти как вектор $\vec{AB}$: $\vec{v} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (1 - 0, (k+b) - b) = (1, k)$.

Таким образом, для прямой $l_1: y = k_1x + b_1$ направляющий вектор равен $\vec{v_1} = (1, k_1)$. Для прямой $l_2: y = k_2x + b_2$ направляющий вектор равен $\vec{v_2} = (1, k_2)$.

Прямые $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ ортогональны (перпендикулярны). Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + k_1 \cdot k_2 = 1 + k_1k_2$.

Условие перпендикулярности прямых $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ эквивалентно равенству: $1 + k_1k_2 = 0$

Отсюда получаем: $k_1k_2 = -1$

Так как все преобразования были эквивалентными ("тогда и только тогда"), мы доказали, что перпендикулярность прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ равносильна условию $k_1k_2 = -1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Упражнения для повторения

403. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$ (рис. 84). Докажите, что $\angle AOB = (\angle C + \angle D)/2$.

403.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

Поскольку $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ четырехугольника $ABCD$, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Подставим эти значения в формулу суммы углов треугольника $AOB$:

$\angle AOB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$

Выразим отсюда угол $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$

Сумма углов выпуклого четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Отсюда выразим сумму углов $A$ и $B$:

$\angle A + \angle B = 360^\circ - (\angle C + \angle D)$

Подставим это выражение в формулу для угла $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \frac{1}{2}(360^\circ - (\angle C + \angle D))$

$\angle AOB = 180^\circ - (180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2})$

$\angle AOB = 180^\circ - 180^\circ + \frac{\angle C + \angle D}{2}$

$\angle AOB = \frac{\angle C + \angle D}{2}$

Ответ: Доказано, что угол $AOB$ равен полусумме углов $C$ и $D$.

404.

Пусть дан ромб $ABCD$, где $\angle B$ и $\angle D$ — тупые, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины тупого угла $B$ на сторону $AD$. По условию, точка $H$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 7$ см и $HD = 18$ см, считая от вершины острого угла $A$.

1. Найдем сторону ромба. Длина стороны $a$ равна сумме длин отрезков, на которые высота делит сторону:

$a = AD = AH + HD = 7 + 18 = 25$ см.

Так как все стороны ромба равны, то $AB = BC = CD = DA = 25$ см.

2. Найдем высоту ромба $BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$BH = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Найдем диагонали ромба $BD$ и $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$ (где $\angle BHD = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем меньшую диагональ $BD$:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$

$BD = \sqrt{900} = 30$ см.

4. Для нахождения большей диагонали $AC$ воспользуемся свойством диагоналей ромба: сумма квадратов диагоналей равна учетверенному квадрату стороны.

$AC^2 + BD^2 = 4a^2$

$AC^2 + 30^2 = 4 \cdot 25^2$

$AC^2 + 900 = 4 \cdot 625$

$AC^2 + 900 = 2500$

$AC^2 = 2500 - 900 = 1600$

$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Ответ: 30 см и 40 см.

404. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба на отрезки 7 см и 18 см, считая от вершины острого угла. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб ABCD, где ∠B — тупой угол, а ∠A — острый угол. Из вершины B проведена высота BH на сторону AD. Согласно условию задачи, эта высота делит сторону AD на отрезки AH и HD. Поскольку отсчет ведется от вершины острого угла A, то $AH = 7$ см и $HD = 18$ см.

1. Нахождение стороны ромба

Все стороны ромба равны. Найдем длину стороны a, которая равна длине отрезка AD:

$a = AD = AH + HD = 7 \text{ см} + 18 \text{ см} = 25 \text{ см}$.

Таким образом, $AB = BC = CD = DA = 25$ см.

2. Нахождение высоты ромба

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором гипотенуза AB равна стороне ромба (25 см), а катет AH равен 7 см. Найдем длину второго катета BH, который является высотой ромба, по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \text{ см}^2$.

$BH = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Нахождение диагоналей ромба

Теперь можно найти длины диагоналей BD и AC.

Найдем диагональ BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Его катеты $BH = 24$ см и $HD = 18$ см. Гипотенузой является диагональ BD. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 \text{ см}^2$.

$BD = \sqrt{900} = 30$ см.

Для нахождения второй диагонали AC воспользуемся свойством ромба: сумма квадратов диагоналей равна учетверенному квадрату его стороны ($d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$).

$AC^2 + BD^2 = 4 \cdot a^2$

$AC^2 + 30^2 = 4 \cdot 25^2$

$AC^2 + 900 = 4 \cdot 625$

$AC^2 + 900 = 2500$

$AC^2 = 2500 - 900 = 1600 \text{ см}^2$.

$AC = \sqrt{1600} = 40$ см.

Ответ: диагонали ромба равны 30 см и 40 см.