Страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

386. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на её большем основании. Найдите радиус окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а высота – 12 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее.

Согласно условию, центр описанной окружности находится на большем основании AD. Это свойство означает, что большее основание AD является диаметром описанной окружности. Если радиус окружности равен R, то длина основания AD составляет $2R$.

Рассмотрим треугольник ACD, вписанный в окружность. Поскольку его сторона AD является диаметром, угол, опирающийся на эту сторону, прямой. Таким образом, $\angle ACD = 90^\circ$, и треугольник ACD является прямоугольным.

Проведем высоту трапеции CH из вершины C на основание AD. Длина этой высоты по условию равна $CH = 12$ см. В прямоугольном треугольнике ACD отрезок CH является высотой, опущенной на гипотенузу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH ($\angle CHA = 90^\circ$). В нем гипотенуза AC — это диагональ трапеции, равная 20 см, а катет CH — высота, равная 12 см. Применим теорему Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$ для нахождения длины катета AH. Подставив значения, получаем: $20^2 = AH^2 + 12^2$, или $400 = AH^2 + 144$. Отсюда $AH^2 = 400 - 144 = 256$, следовательно, $AH = \sqrt{256} = 16$ см.

Для прямоугольного треугольника ACD существует метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета AC, его проекции AH и гипотенузы AD это выглядит так: $AC^2 = AH \cdot AD$.

Подставим известные нам значения в это соотношение и найдем длину гипотенузы AD. $20^2 = 16 \cdot AD$, то есть $400 = 16 \cdot AD$. Отсюда $AD = \frac{400}{16} = 25$ см.

Поскольку AD является диаметром окружности, ее радиус R равен половине длины AD: $R = \frac{AD}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Ответ: 12,5 см.