Страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

356. Какие из данных уравнений являются уравнениями прямых:

1) $2x - 3y = 5;$

2) $2x - 3y = 0;$

3) $2x^2 - 3y = 5;$

4) $2x = 5;$

5) $-3y = 5;$

6) $2x + 0y = 0;$

7) $0x + 0y = 0;$

8) $0x + 0y = 5?$

Уравнение прямой в декартовой системе координат имеет общий вид $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ являются постоянными коэффициентами, причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю. Рассмотрим каждое из предложенных уравнений.

1) Уравнение $2x - 3y = 5$ является линейным уравнением с двумя переменными. Оно соответствует общему виду $ax + by = c$, где $a = 2$, $b = -3$ и $c = 5$. Поскольку коэффициенты при $x$ и $y$ не равны нулю одновременно, это уравнение является уравнением прямой.
Ответ: является.

2) Уравнение $2x - 3y = 0$ также является линейным уравнением. Оно соответствует общему виду $ax + by = c$, где $a = 2$, $b = -3$ и $c = 0$. Коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат.
Ответ: является.

3) В уравнении $2x^2 - 3y = 5$ переменная $x$ находится во второй степени. Уравнение прямой должно быть линейным, то есть все переменные должны быть в первой степени. Это уравнение является уравнением параболы, а не прямой.
Ответ: не является.

4) Уравнение $2x = 5$ можно записать в виде $2x + 0y = 5$. Это уравнение соответствует общему виду $ax + by = c$, где $a = 2$, $b = 0$ и $c = 5$. Так как не оба коэффициента $a$ и $b$ равны нулю, это уравнение прямой. Графиком является вертикальная прямая $x = 2.5$.
Ответ: является.

5) Уравнение $-3y = 5$ можно записать в виде $0x - 3y = 5$. Это уравнение соответствует общему виду $ax + by = c$, где $a = 0$, $b = -3$ и $c = 5$. Так как не оба коэффициента $a$ и $b$ равны нулю, это уравнение прямой. Графиком является горизонтальная прямая $y = -5/3$.
Ответ: является.

6) Уравнение $2x + 0y = 0$ упрощается до $2x = 0$ или $x = 0$. Оно соответствует общему виду $ax + by = c$, где $a = 2$, $b = 0$ и $c = 0$. Так как не оба коэффициента $a$ и $b$ равны нулю, это уравнение прямой. Его графиком является ось ординат (ось $y$).
Ответ: является.

7) Уравнение $0x + 0y = 0$ упрощается до тождества $0 = 0$. Это равенство верно для любой пары чисел $(x, y)$. Следовательно, графиком этого уравнения является вся координатная плоскость, а не прямая. В данном случае оба коэффициента $a=0$ и $b=0$, что противоречит определению уравнения прямой.
Ответ: не является.

8) Уравнение $0x + 0y = 5$ упрощается до неверного равенства $0 = 5$. Не существует ни одной пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла этому уравнению. Его графиком является пустое множество. В данном случае оба коэффициента $a=0$ и $b=0$, что противоречит определению уравнения прямой.
Ответ: не является.

357. Найдите координаты точек пересечения прямой $4x - 5y = 20$ с осями координат. Принадлежит ли этой прямой точка:

1) A $(10; 4);$

2) B $(6; 1);$

3) C $(-1.5; 5.2);$

4) D $(-1; 5)?$

Дано уравнение прямой: $4x - 5y = 20$.

Найдем координаты точек пересечения с осями координат.

1. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox).
В точке пересечения с осью Ox координата $y$ равна 0. Подставим $y = 0$ в уравнение прямой:
$4x - 5 \cdot 0 = 20$
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Таким образом, координаты точки пересечения с осью Ox равны (5; 0).

2. Пересечение с осью ординат (осью Oy).
В точке пересечения с осью Oy координата $x$ равна 0. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой:
$4 \cdot 0 - 5y = 20$
$-5y = 20$
$y = \frac{20}{-5}$
$y = -4$
Таким образом, координаты точки пересечения с осью Oy равны (0; -4).
Ответ: (5; 0) и (0; -4).

Проверим, принадлежат ли точки данной прямой.
Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение $4x - 5y = 20$ и проверим, выполняется ли равенство.

1) A (10; 4)
Подставляем $x = 10$ и $y = 4$:
$4 \cdot 10 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$
$20 = 20$
Равенство верное, значит точка A принадлежит прямой.
Ответ: да.

2) B (6; 1)
Подставляем $x = 6$ и $y = 1$:
$4 \cdot 6 - 5 \cdot 1 = 24 - 5 = 19$
$19 \neq 20$
Равенство неверное, значит точка B не принадлежит прямой.
Ответ: нет.

3) C (-1,5; 5,2)
Подставляем $x = -1,5$ и $y = 5,2$:
$4 \cdot (-1,5) - 5 \cdot 5,2 = -6 - 26 = -32$
$-32 \neq 20$
Равенство неверное, значит точка C не принадлежит прямой.
Ответ: нет.

4) D (-1; 5)
Подставляем $x = -1$ и $y = 5$:
$4 \cdot (-1) - 5 \cdot 5 = -4 - 25 = -29$
$-29 \neq 20$
Равенство неверное, значит точка D не принадлежит прямой.
Ответ: нет.

358. Найдите координаты точек пересечения прямой $3x + 4y = 12$ с осями координат. Какая из точек $M (-2; 4)$ и $K (8; -3)$ принадлежит этой прямой?

Найдите координаты точек пересечения прямой 3x + 4y = 12 с осями координат.

Дано уравнение прямой: $3x + 4y = 12$.

1. Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox), необходимо в уравнение прямой подставить значение $y = 0$:
$3x + 4 \cdot 0 = 12$
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(4; 0)$.

2. Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (осью Oy), необходимо в уравнение прямой подставить значение $x = 0$:
$3 \cdot 0 + 4y = 12$
$4y = 12$
$y = \frac{12}{4}$
$y = 3$
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 3)$.

Ответ: Координаты точек пересечения прямой с осями координат: $(4; 0)$ и $(0; 3)$.

Какая из точек M(-2; 4) и K(8; -3) принадлежит этой прямой?

Точка принадлежит прямой, если её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Подставим координаты каждой точки в уравнение $3x + 4y = 12$ и проверим, получится ли верное равенство.

1. Проверка для точки M(-2; 4):
Подставляем $x = -2$ и $y = 4$:
$3 \cdot (-2) + 4 \cdot 4 = -6 + 16 = 10$
Получили, что $10 \neq 12$. Следовательно, точка M(-2; 4) не принадлежит данной прямой.

2. Проверка для точки K(8; -3):
Подставляем $x = 8$ и $y = -3$:
$3 \cdot 8 + 4 \cdot (-3) = 24 - 12 = 12$
Получили, что $12 = 12$. Следовательно, точка K(8; -3) принадлежит данной прямой.

Ответ: Прямой принадлежит точка K(8; -3).

359. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A $(6; -3)$ и перпендикулярной оси $x$. Какие координаты имеет точка пересечения этой прямой с осью $x$?

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (6; -3) и перпендикулярной оси x.

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс (оси $x$), является вертикальной. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это постоянная, равная x-координате любой точки на этой прямой.

По условию задачи, прямая проходит через точку $A(6; -3)$. Это означает, что x-координата всех точек на этой прямой должна быть равна 6.

Следовательно, уравнение искомой прямой: $x = 6$.

Ответ: $x = 6$.

Какие координаты имеет точка пересечения этой прямой с осью x?

Точка пересечения прямой с осью $x$ — это точка, которая принадлежит одновременно и найденной прямой, и оси $x$.

Уравнение прямой, как мы нашли выше, это $x = 6$.

Все точки, лежащие на оси $x$, имеют y-координату, равную нулю. Таким образом, уравнение оси $x$ — это $y = 0$.

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно найти значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Из уравнений $x=6$ и $y=0$ напрямую следуют координаты точки пересечения.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(6; 0)$.

Ответ: $(6; 0)$.

360. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $B (5; -8)$ и перпендикулярной оси $y$. Какие координаты имеет точка пересечения этой прямой с осью $y$?

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку B (5;–8) и перпендикулярной оси y.
Прямая, которая перпендикулярна оси ординат (оси $y$), является горизонтальной прямой. Особенность такой прямой в том, что все ее точки имеют одну и ту же координату $y$. Общий вид уравнения горизонтальной прямой: $y = c$, где $c$ — это константа.
По условию задачи, прямая проходит через точку $B$ с координатами $(5; -8)$. Это значит, что для данной прямой координата $y$ всегда равна $-8$. Таким образом, константа $c = -8$.
Следовательно, уравнение искомой прямой имеет вид $y = -8$.
Ответ: $y = -8$.

Какие координаты имеет точка пересечения этой прямой с осью y?
Необходимо найти точку пересечения прямой $y = -8$ с осью $y$.
Ось $y$ (ось ординат) представляет собой множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна нулю. То есть, уравнение оси $y$ можно записать как $x = 0$.
Точка пересечения должна удовлетворять обоим условиям: она должна лежать на прямой (ее координата $y$ равна $-8$) и на оси $y$ (ее координата $x$ равна $0$).
Совместив эти два условия, получаем координаты точки пересечения: $(0; -8)$.
Ответ: $(0; -8)$.

361. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку C $(-4; 9)$ па, раллельно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

Дана точка $C(-4; 9)$.

1) оси абсцисс

Ось абсцисс (ось $Ox$) — это горизонтальная прямая, уравнение которой $y = 0$. Любая прямая, параллельная оси абсцисс, также является горизонтальной, и ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — некоторая константа. Поскольку искомая прямая проходит через точку $C(-4; 9)$, каждая точка на этой прямой должна иметь ординату (координату $y$), равную 9. Следовательно, $c = 9$. Уравнение прямой: $y = 9$.

Ответ: $y = 9$.

2) оси ординат

Ось ординат (ось $Oy$) — это вертикальная прямая, уравнение которой $x = 0$. Любая прямая, параллельная оси ординат, также является вертикальной, и ее уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — некоторая константа. Поскольку искомая прямая проходит через точку $C(-4; 9)$, каждая точка на этой прямой должна иметь абсциссу (координату $x$), равную -4. Следовательно, $c = -4$. Уравнение прямой: $x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

362. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) $A (1; -3)$ и $B (-2; -9)$;

2) $C (3; 5)$ и $D (3; -10)$;

3) $E (-4; -1)$ и $F (9; -1)$;

4) $M (3; -3)$ и $K (-6; 12)$.

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Эта формула применяется, когда $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. Если $x_1 = x_2$, прямая вертикальная, и ее уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, прямая горизонтальная, и ее уравнение $y = y_1$.

1) A (1; -3) и B (-2; -9)

Подставим координаты точек $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в общую формулу:

$\frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - (-3)}{-9 - (-3)}$

$\frac{x - 1}{-3} = \frac{y + 3}{-6}$

Для упрощения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$-6(x - 1) = -3(y + 3)$

Разделим обе части уравнения на -3:

$2(x - 1) = y + 3$

$2x - 2 = y + 3$

Выразим $y$:

$y = 2x - 2 - 3$

$y = 2x - 5$

Ответ: $y = 2x - 5$

2) C (3; 5) и D (3; -10)

Абсциссы (координаты $x$) обеих точек C и D одинаковы: $x_C = 3$ и $x_D = 3$.

Это означает, что все точки прямой имеют одну и ту же абсциссу, равную 3. Следовательно, прямая является вертикальной и параллельна оси ординат OY.

Уравнение такой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ - это постоянное значение абсциссы.

В данном случае уравнение прямой:

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

3) E (-4; -1) и F (9; -1)

Ординаты (координаты $y$) обеих точек E и F одинаковы: $y_E = -1$ и $y_F = -1$.

Это означает, что все точки прямой имеют одну и ту же ординату, равную -1. Следовательно, прямая является горизонтальной и параллельна оси абсцисс OX.

Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ - это постоянное значение ординаты.

В данном случае уравнение прямой:

$y = -1$

Ответ: $y = -1$

4) M (3; -3) и K (-6; 12)

Подставим координаты точек $M(x_1, y_1)$ и $K(x_2, y_2)$ в общую формулу:

$\frac{x - 3}{-6 - 3} = \frac{y - (-3)}{12 - (-3)}$

$\frac{x - 3}{-9} = \frac{y + 3}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$15(x - 3) = -9(y + 3)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$5(x - 3) = -3(y + 3)$

Раскроем скобки:

$5x - 15 = -3y - 9$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $y$:

$3y = -5x + 15 - 9$

$3y = -5x + 6$

Разделим обе части на 3:

$y = -\frac{5}{3}x + 2$

Ответ: $y = -\frac{5}{3}x + 2$

363. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) $A (2; -5)$ и $B (-3; 10);$

2) $C (6; -1)$ и $D (24; 2).$

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

После подстановки координат и упрощения, уравнение обычно приводят к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

1) A (2; -5) и B (-3; 10)

Примем координаты точки A за $(x_1, y_1)$, а точки B за $(x_2, y_2)$.

$x_1 = 2, y_1 = -5$

$x_2 = -3, y_2 = 10$

Подставим эти значения в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 2}{-3 - 2} = \frac{y - (-5)}{10 - (-5)}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x - 2}{-5} = \frac{y + 5}{15}$

Чтобы выразить $y$ через $x$, умножим обе части уравнения на 15:

$15 \cdot \frac{x - 2}{-5} = 15 \cdot \frac{y + 5}{15}$

$-3(x - 2) = y + 5$

Раскроем скобки:

$-3x + 6 = y + 5$

Теперь выразим $y$:

$y = -3x + 6 - 5$

$y = -3x + 1$

Ответ: $y = -3x + 1$

2) C (6; -1) и D (24; 2)

Примем координаты точки C за $(x_1, y_1)$, а точки D за $(x_2, y_2)$.

$x_1 = 6, y_1 = -1$

$x_2 = 24, y_2 = 2$

Подставим эти значения в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 6}{24 - 6} = \frac{y - (-1)}{2 - (-1)}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x - 6}{18} = \frac{y + 1}{3}$

Чтобы выразить $y$ через $x$, воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x - 6) = 18(y + 1)$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x - 6 = 6(y + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x - 6 = 6y + 6$

Теперь выразим $6y$:

$6y = x - 6 - 6$

$6y = x - 12$

Разделим обе части на 6, чтобы найти $y$:

$y = \frac{1}{6}x - 2$

Ответ: $y = \frac{1}{6}x - 2$

364. Найдите координаты точки пересечения прямых:

1) $y = 3x - 7$ и $y = 5x + 9$;

2) $2x - 7y = -16$ и $6x + 11y = 16$.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ для обеих прямых одинаковы.

Даны уравнения прямых: $y = 3x - 7$ и $y = 5x + 9$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 7 \\ y = 5x + 9 \end{cases}$

Так как левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$3x - 7 = 5x + 9$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 5x = 9 + 7$

$-2x = 16$

$x = \frac{16}{-2}$

$x = -8$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -8$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 3(-8) - 7 = -24 - 7 = -31$

Проверим, подставив во второе уравнение:

$y = 5(-8) + 9 = -40 + 9 = -31$

Координаты точки пересечения: $(-8; -31)$.

Ответ: $(-8; -31)$.

2) Даны уравнения прямых: $2x - 7y = -16$ и $6x + 11y = 16$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 7y = -16 \\ 6x + 11y = 16 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$-3 \cdot (2x - 7y) = -3 \cdot (-16)$

$-6x + 21y = 48$

Теперь наша система выглядит так:

$\begin{cases} -6x + 21y = 48 \\ 6x + 11y = 16 \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы:

$(-6x + 21y) + (6x + 11y) = 48 + 16$

$32y = 64$

$y = \frac{64}{32}$

$y = 2$

Теперь подставим найденное значение $y=2$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $x$. Возьмем первое уравнение $2x - 7y = -16$:

$2x - 7 \cdot 2 = -16$

$2x - 14 = -16$

$2x = -16 + 14$

$2x = -2$

$x = -1$

Координаты точки пересечения: $(-1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$.

365. Найдите координаты точки пересечения прямых:

1) $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 11$;

2) $3x + 2y = 10$ и $x - 8y = 12$.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 11$, необходимо решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$y = -4x + 1$
$y = 2x - 11$

Так как в обоих уравнениях левая часть равна $y$, мы можем приравнять их правые части:

$-4x + 1 = 2x - 11$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-4x - 2x = -11 - 1$

$-6x = -12$

Разделим обе части уравнения на $-6$:

$x = \frac{-12}{-6}$

$x = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Воспользуемся вторым уравнением $y = 2x - 11$:

$y = 2(2) - 11$

$y = 4 - 11$

$y = -7$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2, -7)$.

Ответ: $(2, -7)$

2) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $3x + 2y = 10$ и $x - 8y = 12$, решим систему уравнений:

$3x + 2y = 10$
$x - 8y = 12$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами ($8y$ и $-8y$):

$4 \cdot (3x + 2y) = 4 \cdot 10$

$12x + 8y = 40$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$12x + 8y = 40$
$x - 8y = 12$

Теперь сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

$(12x + 8y) + (x - 8y) = 40 + 12$

$13x = 52$

Найдем $x$:

$x = \frac{52}{13}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ во второе исходное уравнение $x - 8y = 12$, чтобы найти $y$:

$4 - 8y = 12$

Перенесем 4 в правую часть:

$-8y = 12 - 4$

$-8y = 8$

Разделим обе части на $-8$:

$y = \frac{8}{-8}$

$y = -1$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(4, -1)$.

Ответ: $(4, -1)$

366. Точки $A(-6; -1)$, $B(1; 2)$ и $C(-5; -8)$ – вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $AK$ треугольника $ABC$.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: найти координаты точки K (середины стороны BC), а затем составить уравнение прямой, проходящей через точки A и K.

1. Найдем координаты точки K.

Медиана AK делит сторону BC пополам, следовательно, точка K является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Для точек $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$ координаты середины K вычисляются по формулам:

$x_K = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_K = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим координаты точек $B(1; 2)$ и $C(-5; -8)$:

$x_K = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_K = \frac{2 + (-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты точки K(-2; -3).

2. Составим уравнение прямой AK.

Теперь у нас есть две точки, через которые проходит медиана: $A(-6; -1)$ и $K(-2; -3)$. Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A и K в это уравнение:

$\frac{x - (-6)}{-2 - (-6)} = \frac{y - (-1)}{-3 - (-1)}$

$\frac{x + 6}{-2 + 6} = \frac{y + 1}{-3 + 1}$

$\frac{x + 6}{4} = \frac{y + 1}{-2}$

Чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$-2(x + 6) = 4(y + 1)$

$-2x - 12 = 4y + 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2x + 4y + 4 + 12 = 0$

$2x + 4y + 16 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x + 2y + 8 = 0$

Ответ: $x + 2y + 8 = 0$

367. Точки $A (-3; -4)$, $B (-2; 2)$, $C (1; 3)$ и $D (3; -2)$ – вершины трапеции $ABCD$ $(BC \parallel AD)$. Составьте уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD боковыми сторонами являются AB и CD. Для составления уравнения прямой, содержащей среднюю линию, необходимо найти координаты середин боковых сторон, а затем составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

1. Найдем координаты точки M — середины отрезка AB.Координаты вершин: $A(-3; -4)$ и $B(-2; 2)$.Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$Подставим числовые значения:$x_M = \frac{-3 + (-2)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$$y_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$Таким образом, координаты точки $M(-2.5; -1)$.

2. Найдем координаты точки N — середины отрезка CD.Координаты вершин: $C(1; 3)$ и $D(3; -2)$.Используем те же формулы:$x_N = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$y_N = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$Таким образом, координаты точки $N(2; 0.5)$.

3. Составим уравнение прямой, проходящей через точки M и N.Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$Подставим координаты точек $M(-2.5; -1)$ и $N(2; 0.5)$:$\frac{y - (-1)}{0.5 - (-1)} = \frac{x - (-2.5)}{2 - (-2.5)}$$\frac{y + 1}{1.5} = \frac{x + 2.5}{4.5}$Умножим обе части уравнения на 4.5, чтобы избавиться от знаменателей:$3(y + 1) = x + 2.5$$3y + 3 = x + 2.5$Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:$x - 3y + 2.5 - 3 = 0$$x - 3y - 0.5 = 0$Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим все уравнение на 2:$2x - 6y - 1 = 0$Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $2x - 6y - 1 = 0$

368. Абсциссы середин боковых сторон трапеции равны. Верно ли утверждение, что основания трапеции перпендикулярны оси абсцисс?

Давайте проанализируем данное утверждение с помощью аналитической геометрии.

Пусть вершины трапеции $ABCD$ имеют следующие координаты в декартовой системе: $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ и $D(x_D, y_D)$. Предположим, что $AD$ и $BC$ — это основания трапеции, а $AB$ и $CD$ — её боковые стороны.

Найдём координаты середин боковых сторон.Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Её координаты равны:$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$Пусть точка $N$ — середина боковой стороны $CD$. Её координаты равны:$N\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right)$

Согласно условию задачи, абсциссы (координаты по оси $x$) этих точек равны. Запишем это математически:$x_M = x_N$$\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C + x_D}{2}$

Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Условие $x_M = x_N$ означает, что точки $M$ и $N$ имеют одинаковую абсциссу. Геометрически это значит, что прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является вертикальной, то есть она параллельна оси ординат ($Oy$) и, следовательно, перпендикулярна оси абсцисс ($Ox$).

Одним из фундаментальных свойств трапеции является то, что её средняя линия параллельна её основаниям. То есть, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Поскольку основания $AD$ и $BC$ параллельны средней линии $MN$, а средняя линия $MN$ перпендикулярна оси абсцисс, то и сами основания должны быть перпендикулярны оси абсцисс.

Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, является вертикальной линией. Для любой вертикальной прямой все её точки имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, для основания $AD$ должно выполняться условие $x_A = x_D$, а для основания $BC$ — условие $x_B = x_C$.

Следовательно, исходное утверждение верно. Если абсциссы середин боковых сторон трапеции равны, то её основания перпендикулярны оси абсцисс.

Ответ: Да, утверждение верно.