Номер 367, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

367. Точки $A (-3; -4)$, $B (-2; 2)$, $C (1; 3)$ и $D (3; -2)$ – вершины трапеции $ABCD$ $(BC \parallel AD)$. Составьте уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD боковыми сторонами являются AB и CD. Для составления уравнения прямой, содержащей среднюю линию, необходимо найти координаты середин боковых сторон, а затем составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки.

1. Найдем координаты точки M — середины отрезка AB.Координаты вершин: $A(-3; -4)$ и $B(-2; 2)$.Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$Подставим числовые значения:$x_M = \frac{-3 + (-2)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$$y_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$Таким образом, координаты точки $M(-2.5; -1)$.

2. Найдем координаты точки N — середины отрезка CD.Координаты вершин: $C(1; 3)$ и $D(3; -2)$.Используем те же формулы:$x_N = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$y_N = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$Таким образом, координаты точки $N(2; 0.5)$.

3. Составим уравнение прямой, проходящей через точки M и N.Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$Подставим координаты точек $M(-2.5; -1)$ и $N(2; 0.5)$:$\frac{y - (-1)}{0.5 - (-1)} = \frac{x - (-2.5)}{2 - (-2.5)}$$\frac{y + 1}{1.5} = \frac{x + 2.5}{4.5}$Умножим обе части уравнения на 4.5, чтобы избавиться от знаменателей:$3(y + 1) = x + 2.5$$3y + 3 = x + 2.5$Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:$x - 3y + 2.5 - 3 = 0$$x - 3y - 0.5 = 0$Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим все уравнение на 2:$2x - 6y - 1 = 0$Это и есть искомое уравнение прямой.

Ответ: $2x - 6y - 1 = 0$