Номер 365, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

365. Найдите координаты точки пересечения прямых:

1) $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 11$;

2) $3x + 2y = 10$ и $x - 8y = 12$.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 11$, необходимо решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$y = -4x + 1$
$y = 2x - 11$

Так как в обоих уравнениях левая часть равна $y$, мы можем приравнять их правые части:

$-4x + 1 = 2x - 11$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-4x - 2x = -11 - 1$

$-6x = -12$

Разделим обе части уравнения на $-6$:

$x = \frac{-12}{-6}$

$x = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Воспользуемся вторым уравнением $y = 2x - 11$:

$y = 2(2) - 11$

$y = 4 - 11$

$y = -7$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2, -7)$.

Ответ: $(2, -7)$

2) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $3x + 2y = 10$ и $x - 8y = 12$, решим систему уравнений:

$3x + 2y = 10$
$x - 8y = 12$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами ($8y$ и $-8y$):

$4 \cdot (3x + 2y) = 4 \cdot 10$

$12x + 8y = 40$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$12x + 8y = 40$
$x - 8y = 12$

Теперь сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

$(12x + 8y) + (x - 8y) = 40 + 12$

$13x = 52$

Найдем $x$:

$x = \frac{52}{13}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x = 4$ во второе исходное уравнение $x - 8y = 12$, чтобы найти $y$:

$4 - 8y = 12$

Перенесем 4 в правую часть:

$-8y = 12 - 4$

$-8y = 8$

Разделим обе части на $-8$:

$y = \frac{8}{-8}$

$y = -1$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(4, -1)$.

Ответ: $(4, -1)$