Номер 366, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

366. Точки $A(-6; -1)$, $B(1; 2)$ и $C(-5; -8)$ – вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $AK$ треугольника $ABC$.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: найти координаты точки K (середины стороны BC), а затем составить уравнение прямой, проходящей через точки A и K.

1. Найдем координаты точки K.

Медиана AK делит сторону BC пополам, следовательно, точка K является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Для точек $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$ координаты середины K вычисляются по формулам:

$x_K = \frac{x_B + x_C}{2}$

$y_K = \frac{y_B + y_C}{2}$

Подставим координаты точек $B(1; 2)$ и $C(-5; -8)$:

$x_K = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_K = \frac{2 + (-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты точки K(-2; -3).

2. Составим уравнение прямой AK.

Теперь у нас есть две точки, через которые проходит медиана: $A(-6; -1)$ и $K(-2; -3)$. Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A и K в это уравнение:

$\frac{x - (-6)}{-2 - (-6)} = \frac{y - (-1)}{-3 - (-1)}$

$\frac{x + 6}{-2 + 6} = \frac{y + 1}{-3 + 1}$

$\frac{x + 6}{4} = \frac{y + 1}{-2}$

Чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$-2(x + 6) = 4(y + 1)$

$-2x - 12 = 4y + 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2x + 4y + 4 + 12 = 0$

$2x + 4y + 16 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x + 2y + 8 = 0$

Ответ: $x + 2y + 8 = 0$