Номер 331, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

331. Радиус окружности с центром в точке $A$ равен 4 (рис. 77). Составьте уравнение этой окружности.

Рис. 77

a

б

Общее уравнение окружности с центром в точке $A(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. По условию задачи, радиус $R=4$.

а

Из рисунка 77, а видно, что центр окружности, точка $A$, лежит на оси абсцисс $Ox$. Это означает, что её ордината $b = 0$. Окружность проходит через начало координат $O(0; 0)$. Расстояние от центра $A(a; 0)$ до точки $O(0; 0)$ равно радиусу окружности. Поскольку точка $A$ находится на отрицательной части оси $Ox$, её абсцисса $a$ отрицательна. Расстояние $AO = \sqrt{(0-a)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2} = |a| = -a$. Так как $AO = R = 4$, получаем $-a=4$, откуда $a=-4$. Таким образом, координаты центра окружности $A(-4; 0)$. Подставим найденные значения $a=-4$, $b=0$ и $R=4$ в общее уравнение окружности: $(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$ $(x + 4)^2 + y^2 = 16$

Ответ: $(x + 4)^2 + y^2 = 16$.

б

Из рисунка 77, б видно, что окружность касается обеих координатных осей и её центр, точка $A$, находится в IV координатной четверти. Если окружность касается осей координат, то расстояния от её центра до осей равны радиусу. Расстояние от центра $A(a; b)$ до оси $Ox$ равно $|b|$, а до оси $Oy$ равно $|a|$. Следовательно, $|a| = R = 4$ и $|b| = R = 4$. Так как центр $A$ находится в IV четверти, его абсцисса $a$ положительна, а ордината $b$ отрицательна. Значит, $a = 4$ и $b = -4$. Координаты центра окружности $A(4; -4)$. Подставим найденные значения $a=4$, $b=-4$ и $R=4$ в общее уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$ $(x - 4)^2 + (y + 4)^2 = 16$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 4)^2 = 16$.