Страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

212. Докажите, что сторона правильного восьмиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$, где $R$ – радиус его описанной окружности.

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность с центром в точке O и радиусом $R$. Пусть A и B — две соседние вершины этого восьмиугольника. Соединив их с центром O, мы получим равнобедренный треугольник AOB. В этом треугольнике стороны OA и OB равны радиусу описанной окружности $R$, а сторона AB является стороной правильного восьмиугольника. Обозначим длину стороны AB как $a_8$.

Центральный угол, опирающийся на сторону правильного вписанного n-угольника, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Для восьмиугольника ($n=8$) этот угол составляет:

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Для нахождения длины стороны $a_8$ (стороны AB треугольника AOB) воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим в эту формулу известные нам величины: $OA = R$, $OB = R$ и $\angle AOB = 45^\circ$.

$a_8^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)$

Упростим выражение:

$a_8^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(45^\circ)$

Вынесем общий множитель $2R^2$ за скобки:

$a_8^2 = 2R^2(1 - \cos(45^\circ))$

Мы знаем, что значение косинуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$a_8^2 = 2R^2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$a_8^2 = 2R^2 \left(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)$

$a_8^2 = R^2(2 - \sqrt{2})$

Чтобы найти длину стороны $a_8$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем положительное значение корня:

$a_8 = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{2})} = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Таким образом, мы доказали, что сторона правильного восьмиугольника равна $R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$, где $R$ — радиус его описанной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.

213. Докажите, что сторона правильного двенадцатиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{3}}$, где $R$ — радиус его описанной окружности.

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Соединим две соседние вершины двенадцатиугольника, $A$ и $B$, с центром описанной окружности $O$. В результате образуется равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором боковые стороны равны радиусу окружности ($OA = OB = R$), а основание $AB$ является стороной искомого двенадцатиугольника. Обозначим длину этой стороны как $a_{12}$.

Центральный угол $\angle AOB$, который опирается на сторону правильного двенадцатиугольника, вычисляется как полная окружность, деленная на количество сторон:

$ \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ $

Для нахождения длины стороны $a_{12}$ (основания $AB$ треугольника $\triangle AOB$) воспользуемся теоремой косинусов:

$ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) $

Подставим известные нам значения в формулу:

$ a_{12}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(30^\circ) $

Упростим выражение:

$ a_{12}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(30^\circ) $

$ a_{12}^2 = 2R^2(1 - \cos(30^\circ)) $

Мы знаем, что значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$ a_{12}^2 = 2R^2 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $

Выполним преобразования:

$ a_{12}^2 = 2R^2 \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right) $

$ a_{12}^2 = R^2 (2 - \sqrt{3}) $

Поскольку длина стороны $a_{12}$ является положительной величиной, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$ a_{12} = \sqrt{R^2 (2 - \sqrt{3})} $

$ a_{12} = R\sqrt{2 - \sqrt{3}} $

Таким образом, мы доказали, что сторона правильного двенадцатиугольника равна $R\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Рис. 47

214. Какая ширина проёма должна быть у ключа для шестигранной гайки, основания которой имеют форму правильного шестиугольника (рис. 47), если ширина грани гайки равна 25 мм, а зазор между гранями гайки и ключа — 0,5 мм?

214.

Ширина проёма ключа определяется расстоянием между его параллельными гранями. Это расстояние должно быть равно ширине грани гайки плюс зазоры с обеих сторон. Согласно рисунку, ширина грани гайки — это расстояние между двумя параллельными сторонами шестиугольника.

Дано:

• Ширина грани гайки: $S_{гайки} = 25$ мм.
• Зазор между гайкой и ключом с одной стороны: $g = 0,5$ мм.

Ширина проёма ключа $S_{ключа}$ вычисляется как сумма ширины гайки и двух зазоров (по одному с каждой стороны):

$S_{ключа} = S_{гайки} + 2 \cdot g$

Подставим числовые значения в формулу:

$S_{ключа} = 25 \text{ мм} + 2 \cdot 0,5 \text{ мм} = 25 \text{ мм} + 1 \text{ мм} = 26 \text{ мм}.$

Ответ: 26 мм.

215.

Для нахождения площади правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно разбить его на 8 равных равнобедренных треугольников. Вершины этих треугольников совпадают с центром окружности, а боковые стороны равны радиусу $R$.

Угол при вершине каждого такого треугольника (в центре окружности) равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\sin(45^\circ)$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то площадь одного треугольника равна:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^2\sqrt{2}}{4}$

Площадь всего правильного восьмиугольника ($S_{8}$) равна сумме площадей восьми таких треугольников:

$S_{8} = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{R^2\sqrt{2}}{4} = 2R^2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}R^2$.

215. Найдите площадь правильного восьмиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R$.

Правильный восьмиугольник можно разделить на 8 одинаковых равнобедренных треугольников, вершины которых находятся в центре описанной окружности, а основаниями служат стороны восьмиугольника.

Две боковые стороны каждого такого треугольника равны радиусу описанной окружности $R$. Угол между этими сторонами (центральный угол) равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) можно вычислить по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

В нашем случае $a = b = R$ и $\gamma = \alpha = 45^\circ$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2}R^2\sin(45^\circ)$

Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}R^2$

Площадь всего восьмиугольника ($S_8$) равна сумме площадей восьми таких треугольников:

$S_8 = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}R^2 = 2\sqrt{2}R^2$

Ответ: $2\sqrt{2}R^2$

216. Найдите диагонали и площадь правильного шестиугольника, сторона которого равна $a$.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$.

Диагонали

В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: большая (соединяющая противоположные вершины) и малая (соединяющая вершины через одну).

Большая диагональ ($d_1$) проходит через центр шестиугольника. Её длина равна двум радиусам описанной окружности, а для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне ($R=a$).
$d_1 = 2R = 2a$

Малую диагональ ($d_2$) найдем по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя смежными сторонами шестиугольника и этой диагональю. Угол между сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$.
$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$
$d_2^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
$d_2 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $2a$ и $a\sqrt{3}$.

Площадь

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь шестиугольника ($S$) будет равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь одного равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Следовательно, площадь всего шестиугольника равна:
$S = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

217. Углы квадрата со стороной 6 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону полученного восьмиугольника.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a = 6$ см. Когда у квадрата срезают углы для получения правильного восьмиугольника, от каждого угла отсекается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Обозначим сторону полученного правильного восьмиугольника через $s$. Катеты отсекаемых прямоугольных треугольников обозначим через $x$.

Поскольку восьмиугольник является правильным, все его стороны равны. Четыре его стороны лежат на сторонах исходного квадрата, а четыре другие являются гипотенузами отсеченных треугольников.

Рассмотрим одну сторону исходного квадрата. Ее длина $a=6$ см. Эта сторона состоит из двух отрезков длиной $x$ (катеты срезанных треугольников по углам) и одной стороны восьмиугольника $s$. Таким образом, мы можем составить уравнение: $x + s + x = a$ $2x + s = 6$

Теперь рассмотрим один из срезанных углов. Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $x$. Его гипотенуза является стороной восьмиугольника, то есть ее длина равна $s$. По теореме Пифагора: $x^2 + x^2 = s^2$ $2x^2 = s^2$ Извлекая корень, получаем: $s = x\sqrt{2}$ Отсюда можно выразить $x$ через $s$: $x = \frac{s}{\sqrt{2}}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение: $2 \cdot \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) + s = 6$

Упростим левую часть. Так как $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$, то $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. $s\sqrt{2} + s = 6$

Вынесем $s$ за скобки: $s(\sqrt{2} + 1) = 6$

Теперь найдем $s$: $s = \frac{6}{\sqrt{2} + 1}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$: $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$ $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$ $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1}$ $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{1}$ $s = 6(\sqrt{2} - 1)$ см.

Ответ: $6(\sqrt{2} - 1)$ см.

218. Углы правильного треугольника со стороной 24 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдите сторону полученного шестиугольника.

Пусть сторона исходного правильного (равностороннего) треугольника равна $L$. Согласно условию задачи, $L = 24$ см.

Когда у правильного треугольника срезают углы, чтобы получить правильный шестиугольник, по углам отсекаются три одинаковых маленьких треугольника. При этом каждая сторона исходного треугольника делится на три отрезка. Центральный отрезок становится стороной шестиугольника, а два крайних отрезка становятся сторонами отсеченных треугольников.

Обозначим длину стороны полученного правильного шестиугольника через $a$.

Рассмотрим один из трех отсеченных треугольников. Он образован в углу исходного равностороннего треугольника, поэтому один из его углов равен $60^\circ$. Две стороны, образующие этот угол, являются отрезками, отсеченными от сторон исходного треугольника. Так как в итоге получается правильный шестиугольник, то все его стороны равны $a$, а все срезы должны быть одинаковыми. Обозначим длину отсекаемых от сторон исходного треугольника отрезков через $x$.

Таким образом, каждый отсеченный треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами длиной $x$ и углом между ними $60^\circ$. Треугольник с такими свойствами является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны, то есть третья сторона (которая является срезом и одновременно стороной шестиугольника) также равна $x$. Отсюда следует, что $x = a$.

Теперь рассмотрим длину стороны исходного большого треугольника. Она состоит из одного центрального отрезка (стороны шестиугольника) длиной $a$ и двух боковых отрезков длиной $x$ каждый.
Следовательно, мы можем записать:
$L = x + a + x = 2x + a$.

Поскольку мы уже установили, что $x = a$, подставим это в уравнение:
$L = 2a + a = 3a$.

Мы знаем, что $L = 24$ см. Подставим это значение в полученную формулу, чтобы найти $a$:
$24 = 3a$
$a = \frac{24}{3}$
$a = 8$ см.

Таким образом, сторона полученного правильного шестиугольника равна 8 см.

Ответ: 8 см.

219. Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна $a$.

В правильном восьмиугольнике все стороны равны $a$ и все внутренние углы равны. Всего у правильного восьмиугольника есть три диагонали разной длины, которые можно условно назвать короткой, средней и длинной. Для их нахождения воспользуемся теоремой косинусов.

Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$.

Короткая диагональ ($d_1$)

Короткая диагональ соединяет две вершины через одну (например, вершины $A_1$ и $A_3$). Она образует равнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$ со сторонами $A_1A_2 = A_2A_3 = a$ и углом между ними $\angle A_1A_2A_3 = 135^\circ$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$

Так как $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$d_1^2 = 2a^2 - 2a^2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(2 + \sqrt{2})$

Извлекая квадратный корень, находим длину короткой диагонали:

$d_1 = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Ответ: $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Средняя диагональ ($d_2$)

Средняя диагональ соединяет две вершины через две (например, $A_1$ и $A_4$). Рассмотрим треугольник $A_1A_2A_4$. В нем сторона $A_1A_2 = a$, а сторона $A_2A_4$ равна по длине короткой диагонали $d_1$. Найдем угол $\angle A_1A_2A_4$.

Угол $\angle A_1A_2A_3 = 135^\circ$. В равнобедренном треугольнике $A_2A_3A_4$ ($A_2A_3=A_3A_4=a, \angle A_2A_3A_4 = 135^\circ$) углы при основании равны: $\angle A_3A_2A_4 = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = 22.5^\circ$.

Тогда $\angle A_1A_2A_4 = \angle A_1A_2A_3 - \angle A_3A_2A_4 = 135^\circ - 22.5^\circ = 112.5^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $A_1A_2A_4$ для нахождения $d_2 = A_1A_4$:

$d_2^2 = (A_1A_2)^2 + (A_2A_4)^2 - 2(A_1A_2)(A_2A_4)\cos(112.5^\circ)$

$d_2^2 = a^2 + d_1^2 - 2ad_1\cos(112.5^\circ)$

Используем $d_1^2 = a^2(2+\sqrt{2})$ и $\cos(112.5^\circ) = -\sin(22.5^\circ) = -\sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}} = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

$d_2^2 = a^2 + a^2(2+\sqrt{2}) - 2a(a\sqrt{2+\sqrt{2}})\left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)$

$d_2^2 = a^2(3+\sqrt{2}) + a^2\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = a^2(3+\sqrt{2}) + a^2\sqrt{4-2} = a^2(3+2\sqrt{2})$

Заметим, что $3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1+\sqrt{2})^2$. Тогда:

$d_2^2 = a^2(1+\sqrt{2})^2 \implies d_2 = a(1+\sqrt{2})$

Ответ: $a(1+\sqrt{2})$

Длинная диагональ ($d_3$)

Длинная диагональ соединяет противоположные вершины (например, $A_1$ и $A_5$). Вершины $A_1, A_3, A_5, A_7$ образуют квадрат, стороной которого является короткая диагональ $d_1$. Длинная диагональ восьмиугольника $d_3$ является диагональю этого квадрата.

По теореме Пифагора для квадрата со стороной $d_1$:

$d_3^2 = d_1^2 + d_1^2 = 2d_1^2$

Подставляем найденное ранее значение $d_1^2 = a^2(2+\sqrt{2})$:

$d_3^2 = 2 \cdot a^2(2+\sqrt{2}) = a^2(4+2\sqrt{2})$

Следовательно, длина длинной диагонали:

$d_3 = a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

Ответ: $a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

220. В правильном двенадцатиугольнике, сторона которого равна $a$, последовательно соединили середины шести сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося правильного шестиугольника.

Пусть дан правильный двенадцатиугольник со стороной $a$. Обозначим его центр как $O$. Вершины нового правильного шестиугольника являются серединами шести сторон двенадцатиугольника, взятых через одну.

Рассмотрим две такие последовательные вершины нового шестиугольника. Пусть это будут точки $M_1$ и $M_2$, которые являются серединами сторон $A_1A_2$ и $A_3A_4$ исходного двенадцатиугольника соответственно. Длина отрезка $M_1M_2$ и будет искомой стороной шестиугольника.

Расстояние от центра правильного многоугольника до середины его стороны называется апофемой. Обозначим апофему двенадцатиугольника как $r$. Тогда отрезки $OM_1$ и $OM_2$ являются апофемами, и их длины равны: $|OM_1| = |OM_2| = r$.

Таким образом, треугольник $OM_1M_2$ является равнобедренным. Найдем угол $\angle M_1OM_2$ между апофемами. Этот угол равен углу поворота от стороны $A_1A_2$ до стороны $A_3A_4$.

Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного двенадцатиугольника, равен $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Так как мы берем стороны через одну, то есть переходим от стороны $A_1A_2$ к стороне $A_3A_4$, пропуская сторону $A_2A_3$, то угол между соответствующими апофемами будет равен удвоенному центральному углу, соответствующему одной стороне.

Следовательно, $\angle M_1OM_2 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку треугольник $OM_1M_2$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $|M_1M_2| = |OM_1| = |OM_2| = r$.

Итак, сторона образовавшегося правильного шестиугольника равна апофеме исходного правильного двенадцатиугольника.

Теперь найдем длину апофемы $r$ правильного двенадцатиугольника со стороной $a$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $OA_1A_2$, где $A_1$ и $A_2$ — соседние вершины двенадцатиугольника. $OM_1$ — его высота (апофема), биссектриса и медиана. Угол $\angle A_1OA_2 = 30^\circ$, значит, угол $\angle M_1OA_2 = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$. Катет $|M_1A_2| = \frac{a}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $OM_1A_2$:
$\tan(\angle M_1OA_2) = \frac{|M_1A_2|}{|OM_1|}$
$\tan(15^\circ) = \frac{a/2}{r}$

Отсюда $r = \frac{a}{2\tan(15^\circ)}$.

Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса разности:
$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь подставим значение $\tan(15^\circ)$ в формулу для апофемы:
$r = \frac{a}{2(2 - \sqrt{3})} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(4 - 3)} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2}$.

Так как сторона шестиугольника равна апофеме $r$, то ее длина равна $\frac{a(2 + \sqrt{3})}{2}$.

Ответ: $ \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2} $

221. В правильном восьмиугольнике, сторона которого равна $a$, последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося квадрата.

Пусть дан правильный восьмиугольник со стороной $a$. Обозначим его центр точкой $O$.

В восьмиугольнике последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Пусть это будут середины сторон $S_1, S_3, S_5, S_7$, которые мы обозначим как $M_1, M_2, M_3, M_4$ соответственно. В силу симметрии правильного восьмиугольника, образовавшаяся фигура $M_1M_2M_3M_4$ является квадратом, центр которого совпадает с центром восьмиугольника $O$. Нам нужно найти длину стороны этого квадрата, например, отрезка $M_1M_2$.

Расстояние от центра правильного многоугольника до середины любой его стороны равно апофеме этого многоугольника. Обозначим апофему нашего восьмиугольника как $R_{in}$. Таким образом, расстояния от центра $O$ до точек $M_1, M_2, M_3, M_4$ равны апофеме:$OM_1 = OM_2 = OM_3 = OM_4 = R_{in}$.

Угол между двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам правильного n-угольника, равен $360^\circ/n$. Аналогично, угол между двумя апофемами, проведенными к соседним сторонам, также равен $360^\circ/n$. Для восьмиугольника ($n=8$) этот угол составляет $360^\circ/8 = 45^\circ$.

Поскольку мы соединяем середины сторон, взятых через одну (например, $S_1$ и $S_3$, пропуская $S_2$), угол между отрезками $OM_1$ и $OM_2$ будет равен сумме двух таких углов:$\angle M_1OM_2 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OM_1M_2$. Он является равнобедренным, так как $OM_1 = OM_2 = R_{in}$, и прямоугольным, так как $\angle M_1OM_2 = 90^\circ$. Сторона искомого квадрата $s = M_1M_2$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:$s^2 = OM_1^2 + OM_2^2 = R_{in}^2 + R_{in}^2 = 2R_{in}^2$Отсюда, $s = R_{in}\sqrt{2}$.

Теперь найдем апофему $R_{in}$ правильного восьмиугольника со стороной $a$. Апофема связана со стороной формулой:$R_{in} = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/n)}$, где $n$ — число сторон.

Для восьмиугольника ($n=8$):$R_{in} = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/8)} = \frac{a}{2 \tan(22.5^\circ)}$.

Чтобы найти значение $\tan(22.5^\circ)$, воспользуемся формулой тангенса двойного угла $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Пусть $\alpha=22.5^\circ$, тогда $2\alpha=45^\circ$. Обозначим $t = \tan(22.5^\circ)$.$\tan(45^\circ) = 1 = \frac{2t}{1-t^2}$$1 - t^2 = 2t \implies t^2 + 2t - 1 = 0$.

Решая это квадратное уравнение относительно $t$, получаем:$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.Поскольку угол $22.5^\circ$ находится в первой четверти, его тангенс положителен, следовательно, мы выбираем корень со знаком плюс:$t = \tan(22.5^\circ) = \sqrt{2}-1$.

Подставим найденное значение в формулу для апофемы:$R_{in} = \frac{a}{2(\sqrt{2}-1)}$.Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:$R_{in} = \frac{a(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{a(\sqrt{2}+1)}{2(2-1)} = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2}$.

Наконец, найдем сторону квадрата $s$, подставив значение апофемы в ранее полученную формулу $s = R_{in}\sqrt{2}$:$s = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a(\sqrt{2}+2)}{2} = a(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$.

Ответ: $a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$.

222. Форму каких равных правильных многоугольников могут иметь дощечки паркета, чтобы ими можно было выстлать пол?

Для того чтобы равными правильными многоугольниками можно было выстлать пол (замостить плоскость) без зазоров и наложений, необходимо, чтобы сумма внутренних углов многоугольников, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^{\circ}$.

Величина внутреннего угла $\alpha_n$ правильного n-угольника определяется по формуле:$\alpha_n = \frac{180^{\circ} \cdot (n-2)}{n}$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

Пусть в одной вершине сходится $k$ одинаковых многоугольников. Так как многоугольники равны, то их углы также равны. Тогда должно выполняться условие:$k \cdot \alpha_n = 360^{\circ}$

Здесь $n$ (количество сторон) и $k$ (количество многоугольников в одной вершине) — целые числа, причем $n \ge 3$ и $k \ge 3$.

Подставим выражение для $\alpha_n$ в это уравнение:$k \cdot \frac{180^{\circ} \cdot (n-2)}{n} = 360^{\circ}$

Разделим обе части уравнения на $180^{\circ}$:$k \cdot \frac{n-2}{n} = 2$

Теперь выразим $n$ через $k$:$k(n-2) = 2n$
$kn - 2k = 2n$
$kn - 2n = 2k$
$n(k-2) = 2k$
$n = \frac{2k}{k-2}$

Преобразуем это выражение:$n = \frac{2(k-2) + 4}{k-2} = 2 + \frac{4}{k-2}$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, выражение $\frac{4}{k-2}$ также должно быть целым. Это означает, что $(k-2)$ должно быть целым делителем числа 4. Так как $k \ge 3$, то $k-2 \ge 1$.Целые положительные делители числа 4 — это 1, 2 и 4. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $k-2 = 1$, то $k = 3$. Тогда $n = 2 + \frac{4}{1} = 6$. Это означает, что пол можно выстлать правильными шестиугольниками (в каждой вершине будут сходиться по 3 шестиугольника).
2. Если $k-2 = 2$, то $k = 4$. Тогда $n = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Это означает, что пол можно выстлать квадратами (в каждой вершине будут сходиться по 4 квадрата).
3. Если $k-2 = 4$, то $k = 6$. Тогда $n = 2 + \frac{4}{4} = 3$. Это означает, что пол можно выстлать правильными (равносторонними) треугольниками (в каждой вершине будут сходиться по 6 треугольников).

Других целых значений $k \ge 3$, для которых $(k-2)$ является делителем числа 4, не существует. Следовательно, существует только три вида правильных многоугольников, которыми можно замостить плоскость.

Ответ: Дощечки паркета могут иметь форму правильного треугольника, квадрата или правильного шестиугольника.

223. Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна 1. Пользуясь только линейкой, постройте отрезок длиной $\sqrt{7}$.

Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Вершины перечисляются против часовой стрелки. Для построения отрезка длиной $\sqrt{7}$ с помощью только линейки выполним следующие действия.

Построение:

1. С помощью линейки проводим прямую через вершины $A$ и $B$.
2. С помощью линейки проводим прямую через вершины $D$ и $C$.
3. Эти две прямые не параллельны, так как стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Обозначим точку их пересечения буквой $G$.
4. Искомый отрезок — это отрезок, соединяющий вершину $E$ и построенную точку $G$.

Доказательство:

Докажем, что длина отрезка $EG$ равна $\sqrt{7}$.

1. Рассмотрим треугольник $GBC$.
Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = \angle BCD = 120^\circ$.
Угол $\angle GBC$ является смежным с углом $\angle ABC$, так как точка $G$ лежит на прямой $AB$ за точкой $B$. Следовательно, $\angle GBC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Аналогично, угол $\angle GCB$ является смежным с углом $\angle BCD$, так как точка $G$ лежит на прямой $DC$ за точкой $C$. Следовательно, $\angle GCB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Поскольку два угла в треугольнике $GBC$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle BGC$ также равен $60^\circ$. Таким образом, треугольник $GBC$ является равносторонним.
Сторона $BC$ является стороной исходного шестиугольника, поэтому $BC=1$. Значит, все стороны треугольника $GBC$ равны 1, то есть $GB = GC = BC = 1$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $EDG$.
Нам нужно найти длину стороны $EG$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Нам известны две стороны и угол между ними:

• Сторона $ED$ — это сторона шестиугольника, поэтому $ED = 1$.
• Сторона $DG$ состоит из отрезков $DC$ и $CG$, так как точки $D, C, G$ лежат на одной прямой. $DC=1$ (сторона шестиугольника) и $CG=1$ (сторона равностороннего треугольника $GBC$). Таким образом, $DG = DC + CG = 1 + 1 = 2$.
• Угол $\angle EDG$ — это угол при вершине $D$. Так как точка $G$ лежит на продолжении стороны $DC$, то угол $\angle EDG$ совпадает с внутренним углом шестиугольника $\angle EDC$. Значит, $\angle EDG = \angle EDC = 120^\circ$.

3. Применим теорему косинусов для треугольника $EDG$:
$EG^2 = ED^2 + DG^2 - 2 \cdot ED \cdot DG \cdot \cos(\angle EDG)$
Подставим известные значения:
$EG^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)$
$EG^2 = 1 + 4 - 4 \cdot (-\frac{1}{2})$
$EG^2 = 5 + 2$
$EG^2 = 7$
Следовательно, $EG = \sqrt{7}$.

Таким образом, построенный отрезок $EG$ имеет длину $\sqrt{7}$.

Ответ: Необходимо продлить стороны $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $G$. Отрезок, соединяющий точку $G$ с вершиной $E$, будет иметь длину $\sqrt{7}$.