Номер 217, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

217. Углы квадрата со стороной 6 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону полученного восьмиугольника.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a = 6$ см. Когда у квадрата срезают углы для получения правильного восьмиугольника, от каждого угла отсекается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Обозначим сторону полученного правильного восьмиугольника через $s$. Катеты отсекаемых прямоугольных треугольников обозначим через $x$.

Поскольку восьмиугольник является правильным, все его стороны равны. Четыре его стороны лежат на сторонах исходного квадрата, а четыре другие являются гипотенузами отсеченных треугольников.

Рассмотрим одну сторону исходного квадрата. Ее длина $a=6$ см. Эта сторона состоит из двух отрезков длиной $x$ (катеты срезанных треугольников по углам) и одной стороны восьмиугольника $s$. Таким образом, мы можем составить уравнение: $x + s + x = a$ $2x + s = 6$

Теперь рассмотрим один из срезанных углов. Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $x$. Его гипотенуза является стороной восьмиугольника, то есть ее длина равна $s$. По теореме Пифагора: $x^2 + x^2 = s^2$ $2x^2 = s^2$ Извлекая корень, получаем: $s = x\sqrt{2}$ Отсюда можно выразить $x$ через $s$: $x = \frac{s}{\sqrt{2}}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение: $2 \cdot \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) + s = 6$

Упростим левую часть. Так как $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$, то $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. $s\sqrt{2} + s = 6$

Вынесем $s$ за скобки: $s(\sqrt{2} + 1) = 6$

Теперь найдем $s$: $s = \frac{6}{\sqrt{2} + 1}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$: $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$ $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$ $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1}$ $s = \frac{6(\sqrt{2} - 1)}{1}$ $s = 6(\sqrt{2} - 1)$ см.

Ответ: $6(\sqrt{2} - 1)$ см.