Номер 223, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

223. Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна 1. Пользуясь только линейкой, постройте отрезок длиной $\sqrt{7}$.

Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Вершины перечисляются против часовой стрелки. Для построения отрезка длиной $\sqrt{7}$ с помощью только линейки выполним следующие действия.

Построение:

1. С помощью линейки проводим прямую через вершины $A$ и $B$.
2. С помощью линейки проводим прямую через вершины $D$ и $C$.
3. Эти две прямые не параллельны, так как стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Обозначим точку их пересечения буквой $G$.
4. Искомый отрезок — это отрезок, соединяющий вершину $E$ и построенную точку $G$.

Доказательство:

Докажем, что длина отрезка $EG$ равна $\sqrt{7}$.

1. Рассмотрим треугольник $GBC$.
Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = \angle BCD = 120^\circ$.
Угол $\angle GBC$ является смежным с углом $\angle ABC$, так как точка $G$ лежит на прямой $AB$ за точкой $B$. Следовательно, $\angle GBC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Аналогично, угол $\angle GCB$ является смежным с углом $\angle BCD$, так как точка $G$ лежит на прямой $DC$ за точкой $C$. Следовательно, $\angle GCB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Поскольку два угла в треугольнике $GBC$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle BGC$ также равен $60^\circ$. Таким образом, треугольник $GBC$ является равносторонним.
Сторона $BC$ является стороной исходного шестиугольника, поэтому $BC=1$. Значит, все стороны треугольника $GBC$ равны 1, то есть $GB = GC = BC = 1$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $EDG$.
Нам нужно найти длину стороны $EG$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Нам известны две стороны и угол между ними:

• Сторона $ED$ — это сторона шестиугольника, поэтому $ED = 1$.
• Сторона $DG$ состоит из отрезков $DC$ и $CG$, так как точки $D, C, G$ лежат на одной прямой. $DC=1$ (сторона шестиугольника) и $CG=1$ (сторона равностороннего треугольника $GBC$). Таким образом, $DG = DC + CG = 1 + 1 = 2$.
• Угол $\angle EDG$ — это угол при вершине $D$. Так как точка $G$ лежит на продолжении стороны $DC$, то угол $\angle EDG$ совпадает с внутренним углом шестиугольника $\angle EDC$. Значит, $\angle EDG = \angle EDC = 120^\circ$.

3. Применим теорему косинусов для треугольника $EDG$:
$EG^2 = ED^2 + DG^2 - 2 \cdot ED \cdot DG \cdot \cos(\angle EDG)$
Подставим известные значения:
$EG^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)$
$EG^2 = 1 + 4 - 4 \cdot (-\frac{1}{2})$
$EG^2 = 5 + 2$
$EG^2 = 7$
Следовательно, $EG = \sqrt{7}$.

Таким образом, построенный отрезок $EG$ имеет длину $\sqrt{7}$.

Ответ: Необходимо продлить стороны $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $G$. Отрезок, соединяющий точку $G$ с вершиной $E$, будет иметь длину $\sqrt{7}$.