Номер 224, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

224. Окружность разделена на пять равных дуг: $\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DE = \cup AE$. Найдите:

1) $\angle BAC$;

2) $\angle BAD$;

3) $\angle BAE$;

4) $\angle CAD$;

5) $\angle DAE$.

Полный оборот окружности составляет $360^\circ$. По условию задачи, окружность разделена на пять равных дуг: $\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DE = \cup AE$.

Найдем градусную меру каждой из этих дуг. Так как дуги равны, то градусная мера каждой из них составляет:
$\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DE = \cup AE = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Все искомые углы являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Исходя из этого правила, найдем величину каждого угла.

1) ∠BAC

Угол $\angle BAC$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup BC$.
Следовательно, его величина равна:
$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

2) ∠BAD

Угол $\angle BAD$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup BD$. Эта дуга состоит из двух равных дуг: $\cup BD = \cup BC + \cup CD$.
Градусная мера дуги $\cup BD$ равна:
$\cup BD = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle BAD$ равна:
$\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot \cup BD = \frac{1}{2} \cdot 144^\circ = 72^\circ$.
Ответ: $72^\circ$.

3) ∠BAE

Угол $\angle BAE$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup BDE$. Эта дуга состоит из трех равных дуг: $\cup BDE = \cup BC + \cup CD + \cup DE$.
Градусная мера дуги $\cup BDE$ равна:
$\cup BDE = 72^\circ + 72^\circ + 72^\circ = 216^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle BAE$ равна:
$\angle BAE = \frac{1}{2} \cdot \cup BDE = \frac{1}{2} \cdot 216^\circ = 108^\circ$.
Ответ: $108^\circ$.

4) ∠CAD

Угол $\angle CAD$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup CD$.
Следовательно, его величина равна:
$\angle CAD = \frac{1}{2} \cdot \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

5) ∠DAE

Угол $\angle DAE$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup DE$.
Следовательно, его величина равна:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot \cup DE = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.