Номер 218, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

218. Углы правильного треугольника со стороной 24 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдите сторону полученного шестиугольника.

Пусть сторона исходного правильного (равностороннего) треугольника равна $L$. Согласно условию задачи, $L = 24$ см.

Когда у правильного треугольника срезают углы, чтобы получить правильный шестиугольник, по углам отсекаются три одинаковых маленьких треугольника. При этом каждая сторона исходного треугольника делится на три отрезка. Центральный отрезок становится стороной шестиугольника, а два крайних отрезка становятся сторонами отсеченных треугольников.

Обозначим длину стороны полученного правильного шестиугольника через $a$.

Рассмотрим один из трех отсеченных треугольников. Он образован в углу исходного равностороннего треугольника, поэтому один из его углов равен $60^\circ$. Две стороны, образующие этот угол, являются отрезками, отсеченными от сторон исходного треугольника. Так как в итоге получается правильный шестиугольник, то все его стороны равны $a$, а все срезы должны быть одинаковыми. Обозначим длину отсекаемых от сторон исходного треугольника отрезков через $x$.

Таким образом, каждый отсеченный треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами длиной $x$ и углом между ними $60^\circ$. Треугольник с такими свойствами является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны, то есть третья сторона (которая является срезом и одновременно стороной шестиугольника) также равна $x$. Отсюда следует, что $x = a$.

Теперь рассмотрим длину стороны исходного большого треугольника. Она состоит из одного центрального отрезка (стороны шестиугольника) длиной $a$ и двух боковых отрезков длиной $x$ каждый.
Следовательно, мы можем записать:
$L = x + a + x = 2x + a$.

Поскольку мы уже установили, что $x = a$, подставим это в уравнение:
$L = 2a + a = 3a$.

Мы знаем, что $L = 24$ см. Подставим это значение в полученную формулу, чтобы найти $a$:
$24 = 3a$
$a = \frac{24}{3}$
$a = 8$ см.

Таким образом, сторона полученного правильного шестиугольника равна 8 см.

Ответ: 8 см.