Номер 221, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

221. В правильном восьмиугольнике, сторона которого равна $a$, последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося квадрата.

Пусть дан правильный восьмиугольник со стороной $a$. Обозначим его центр точкой $O$.

В восьмиугольнике последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Пусть это будут середины сторон $S_1, S_3, S_5, S_7$, которые мы обозначим как $M_1, M_2, M_3, M_4$ соответственно. В силу симметрии правильного восьмиугольника, образовавшаяся фигура $M_1M_2M_3M_4$ является квадратом, центр которого совпадает с центром восьмиугольника $O$. Нам нужно найти длину стороны этого квадрата, например, отрезка $M_1M_2$.

Расстояние от центра правильного многоугольника до середины любой его стороны равно апофеме этого многоугольника. Обозначим апофему нашего восьмиугольника как $R_{in}$. Таким образом, расстояния от центра $O$ до точек $M_1, M_2, M_3, M_4$ равны апофеме:$OM_1 = OM_2 = OM_3 = OM_4 = R_{in}$.

Угол между двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам правильного n-угольника, равен $360^\circ/n$. Аналогично, угол между двумя апофемами, проведенными к соседним сторонам, также равен $360^\circ/n$. Для восьмиугольника ($n=8$) этот угол составляет $360^\circ/8 = 45^\circ$.

Поскольку мы соединяем середины сторон, взятых через одну (например, $S_1$ и $S_3$, пропуская $S_2$), угол между отрезками $OM_1$ и $OM_2$ будет равен сумме двух таких углов:$\angle M_1OM_2 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OM_1M_2$. Он является равнобедренным, так как $OM_1 = OM_2 = R_{in}$, и прямоугольным, так как $\angle M_1OM_2 = 90^\circ$. Сторона искомого квадрата $s = M_1M_2$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:$s^2 = OM_1^2 + OM_2^2 = R_{in}^2 + R_{in}^2 = 2R_{in}^2$Отсюда, $s = R_{in}\sqrt{2}$.

Теперь найдем апофему $R_{in}$ правильного восьмиугольника со стороной $a$. Апофема связана со стороной формулой:$R_{in} = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/n)}$, где $n$ — число сторон.

Для восьмиугольника ($n=8$):$R_{in} = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/8)} = \frac{a}{2 \tan(22.5^\circ)}$.

Чтобы найти значение $\tan(22.5^\circ)$, воспользуемся формулой тангенса двойного угла $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Пусть $\alpha=22.5^\circ$, тогда $2\alpha=45^\circ$. Обозначим $t = \tan(22.5^\circ)$.$\tan(45^\circ) = 1 = \frac{2t}{1-t^2}$$1 - t^2 = 2t \implies t^2 + 2t - 1 = 0$.

Решая это квадратное уравнение относительно $t$, получаем:$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.Поскольку угол $22.5^\circ$ находится в первой четверти, его тангенс положителен, следовательно, мы выбираем корень со знаком плюс:$t = \tan(22.5^\circ) = \sqrt{2}-1$.

Подставим найденное значение в формулу для апофемы:$R_{in} = \frac{a}{2(\sqrt{2}-1)}$.Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:$R_{in} = \frac{a(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{a(\sqrt{2}+1)}{2(2-1)} = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2}$.

Наконец, найдем сторону квадрата $s$, подставив значение апофемы в ранее полученную формулу $s = R_{in}\sqrt{2}$:$s = \frac{a(1+\sqrt{2})}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a(\sqrt{2}+2)}{2} = a(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$.

Ответ: $a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$.