Номер 214, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 47

214. Какая ширина проёма должна быть у ключа для шестигранной гайки, основания которой имеют форму правильного шестиугольника (рис. 47), если ширина грани гайки равна 25 мм, а зазор между гранями гайки и ключа — 0,5 мм?

214.

Ширина проёма ключа определяется расстоянием между его параллельными гранями. Это расстояние должно быть равно ширине грани гайки плюс зазоры с обеих сторон. Согласно рисунку, ширина грани гайки — это расстояние между двумя параллельными сторонами шестиугольника.

Дано:

• Ширина грани гайки: $S_{гайки} = 25$ мм.
• Зазор между гайкой и ключом с одной стороны: $g = 0,5$ мм.

Ширина проёма ключа $S_{ключа}$ вычисляется как сумма ширины гайки и двух зазоров (по одному с каждой стороны):

$S_{ключа} = S_{гайки} + 2 \cdot g$

Подставим числовые значения в формулу:

$S_{ключа} = 25 \text{ мм} + 2 \cdot 0,5 \text{ мм} = 25 \text{ мм} + 1 \text{ мм} = 26 \text{ мм}.$

Ответ: 26 мм.

215.

Для нахождения площади правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно разбить его на 8 равных равнобедренных треугольников. Вершины этих треугольников совпадают с центром окружности, а боковые стороны равны радиусу $R$.

Угол при вершине каждого такого треугольника (в центре окружности) равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\sin(45^\circ)$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то площадь одного треугольника равна:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^2\sqrt{2}}{4}$

Площадь всего правильного восьмиугольника ($S_{8}$) равна сумме площадей восьми таких треугольников:

$S_{8} = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{R^2\sqrt{2}}{4} = 2R^2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}R^2$.