Номер 207, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

207. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

Рассмотрим правильный пятиугольник, обозначив его вершины последовательно буквами A, B, C, D, E. В правильном пятиугольнике все стороны равны и все внутренние углы равны.

Сначала найдем величину внутреннего угла правильного пятиугольника. Формула для внутреннего угла правильного n-угольника: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $. При $n=5$ получаем: $ \alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ $. Таким образом, $ \angle EAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = 108^\circ $.

Докажем для примера, что диагональ CE параллельна стороне AB. Для этого воспользуемся признаком параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. В нашем случае прямые — это CE и AB, а в качестве секущей рассмотрим прямую AE.

Нам нужно доказать, что $ \angle EAB + \angle CEA = 180^\circ $.

Угол $ \angle EAB $ является внутренним углом пятиугольника, поэтому $ \angle EAB = 108^\circ $.

Теперь найдем величину угла $ \angle CEA $. Рассмотрим треугольник CDE. Поскольку пятиугольник ABCDE правильный, его стороны равны, в частности $CD = DE$. Следовательно, треугольник CDE — равнобедренный. Угол при его вершине $ \angle CDE $ равен $108^\circ$. Углы при основании равны между собой: $ \angle DCE = \angle DEC = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $.

Полный внутренний угол при вершине E пятиугольника $ \angle DEA = 108^\circ $. Он состоит из двух углов: $ \angle DEA = \angle DEC + \angle CEA $. Мы можем выразить отсюда $ \angle CEA $: $ \angle CEA = \angle DEA - \angle DEC = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ $.

Теперь найдем сумму внутренних односторонних углов при секущей AE: $ \angle EAB + \angle CEA = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ $.

Так как сумма этих углов равна $180^\circ$, то прямые CE и AB параллельны ($CE \parallel AB$).

Выбор диагонали CE и стороны AB был произвольным. В силу симметрии правильного пятиугольника, аналогичное доказательство можно провести для любой другой диагонали. Каждая диагональ будет параллельна той стороне, с которой она не имеет общих вершин. Например, диагональ AD параллельна стороне BC, диагональ BE параллельна стороне CD и так далее.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.