Номер 208, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

208. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат:

1) по разные стороны от хорды;

2) по одну сторону от хорды.

Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — две пересекающиеся окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Их общая хорда $AB$ имеет длину $a$.

В первой окружности $\omega_1$ хорда $AB$ является стороной вписанного правильного треугольника. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R_1$, выражается формулой $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус первой окружности:

$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Во второй окружности $\omega_2$ хорда $AB$ является стороной вписанного квадрата. Длина стороны квадрата, вписанного в окружность радиуса $R_2$, выражается формулой $a = R_2\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус второй окружности:

$R_2 = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Линия, соединяющая центры окружностей $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит её пополам. Пусть $M$ — точка пересечения $O_1O_2$ и $AB$. Тогда $M$ — середина $AB$, и $AM = \frac{a}{2}$. Расстояние между центрами $O_1O_2$ складывается из расстояний от каждого центра до хорды $AB$ ($d_1 = O_1M$ и $d_2 = O_2M$) или равно их разности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. По теореме Пифагора:

$O_1M^2 = R_1^2 - AM^2$

$d_1^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{9} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$

$d_1 = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. По теореме Пифагора:

$O_2M^2 = R_2^2 - AM^2$

$d_2^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

$d_2 = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$

Теперь рассмотрим два случая расположения центров.

1) по разные стороны от хорды

Если центры окружностей лежат по разные стороны от хорды $AB$, то расстояние между ними равно сумме расстояний от каждого центра до хорды:

$O_1O_2 = d_1 + d_2 = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a}{2} = \frac{a\sqrt{3} + 3a}{6} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$

Ответ: $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$

2) по одну сторону от хорды

Если центры окружностей лежат по одну сторону от хорды $AB$, то расстояние между ними равно разности расстояний от каждого центра до хорды. Сравним $d_1$ и $d_2$: $d_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6} \approx \frac{1.732a}{6} \approx 0.289a$, а $d_2 = \frac{a}{2} = 0.5a$. Так как $d_2 > d_1$, расстояние между центрами равно:

$O_1O_2 = d_2 - d_1 = \frac{a}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{3a - a\sqrt{3}}{6} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$

Ответ: $\frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$