Страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

198. Сторона правильного многоугольника равна $a$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите радиус описанной окружности.

Рассмотрим правильный многоугольник. Пусть $O$ — его центр, который также является центром вписанной и описанной окружностей. Пусть $A$ и $B$ — две соседние вершины многоугольника. Тогда $AB$ — это сторона многоугольника, и по условию её длина равна $a$.

Радиус описанной окружности, обозначим его $R$, — это расстояние от центра $O$ до любой вершины. Следовательно, $R = OA = OB$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на сторону многоугольника. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда отрезок $OM$ является радиусом вписанной окружности, $OM = r$, и он перпендикулярен стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle OMA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $OA$ равна радиусу описанной окружности $R$;
• катет $OM$ равен радиусу вписанной окружности $r$;
• катет $AM$ равен половине стороны многоугольника, то есть $AM = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим в это равенство известные значения: $R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Упростим выражение: $R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4}$

Чтобы найти радиус описанной окружности $R$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: $R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}$

Ответ: $\sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}$

199. Около окружности описан правильный шестиугольник со стороной $4\sqrt{3}$ см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Задача решается в два этапа. Сначала мы находим радиус окружности, используя данные об описанном правильном шестиугольнике. Затем, зная радиус, мы находим сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

1. Нахождение радиуса окружности.
Окружность вписана в правильный шестиугольник, так как шестиугольник описан около неё. Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен его апофеме. Связь между стороной правильного шестиугольника $a_6$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой:
$r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$
По условию, сторона шестиугольника $a_6 = 4\sqrt{3}$ см. Подставляем это значение в формулу:
$r = \frac{(4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Таким образом, радиус окружности составляет 6 см.

2. Нахождение стороны квадрата.
Квадрат вписан в данную окружность. Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности, а радиус окружности является радиусом описанной около квадрата окружности, то есть $R = r = 6$ см.
Диагональ $d$ вписанного квадрата равна диаметру описанной окружности:
$d = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Стороны квадрата $a_4$ и его диагональ $d$ связаны теоремой Пифагора:
$a_4^2 + a_4^2 = d^2$
$2a_4^2 = 12^2$
$2a_4^2 = 144$
$a_4^2 = \frac{144}{2} = 72$
$a_4 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

200. В окружность вписан квадрат со стороной $6\sqrt{2}$ см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Задача решается в два этапа. Сначала мы найдем радиус окружности, используя данные о вписанном в нее квадрате. Затем, зная этот радиус, мы вычислим сторону правильного треугольника, который описан около этой же окружности.

1. Нахождение радиуса окружности.

Пусть сторона вписанного квадрата $a_4 = 6\sqrt{2}$ см. Диагональ $d$ такого квадрата является диаметром $D$ описанной около него окружности.

Связь между стороной квадрата и его диагональю выражается формулой: $d = a_4\sqrt{2}$. Подставим значение стороны: $d = (6\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Так как диагональ квадрата равна диаметру окружности, $D = 12$ см. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Нахождение стороны описанного треугольника.

Правильный треугольник описан около окружности, значит, эта окружность является вписанной в треугольник. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности $r$ равен радиусу нашей окружности, то есть $r = R = 6$ см.

Сторона правильного треугольника $b_3$ связана с радиусом вписанной в него окружности $r$ следующей формулой: $b_3 = 2r\sqrt{3}$

Подставим в формулу значение радиуса $r=6$ см: $b_3 = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

201. Диаметр круга равен 16 см. Можно ли из него вырезать квадрат со стороной 12 см?

Для того чтобы определить, можно ли вырезать квадрат из круга, нужно сравнить самый длинный отрезок в квадрате (его диагональ) с самым длинным отрезком в круге (его диаметром). Квадрат можно вырезать из круга только в том случае, если его диагональ меньше или равна диаметру круга.

По условию задачи, диаметр круга $D = 16$ см, а сторона квадрата $a = 12$ см.

Найдем длину диагонали $d$ квадрата, используя теорему Пифагора. Для квадрата со стороной $a$ диагональ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значение стороны квадрата $a=12$ см:

$d = 12\sqrt{2}$ см

Теперь сравним полученную длину диагонали $d = 12\sqrt{2}$ см с диаметром круга $D = 16$ см. Чтобы сравнить эти два значения, удобнее возвести их в квадрат, так как оба они положительны:

$d^2 = (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288$

$D^2 = 16^2 = 256$

Так как $288 > 256$, то и $d > D$ ($12\sqrt{2} > 16$).

Диагональ квадрата больше диаметра круга. Это означает, что квадрат не поместится внутри круга.

Ответ: нет, нельзя.

202. Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является правильный треугольник со стороной $15 \text{ см}$?

Для того чтобы из круглого бревна выпилить брус с поперечным сечением в виде правильного треугольника, необходимо, чтобы этот треугольник помещался в круге, который является поперечным сечением бревна. Наименьший возможный диаметр бревна будет равен диаметру окружности, описанной вокруг этого правильного треугольника.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, можно найти по формуле:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

По условию задачи сторона треугольника $a = 15$ см. Подставим это значение в формулу для вычисления радиуса:

$R = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Диаметр $d$ бревна равен двум радиусам описанной окружности:

$d = 2R = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Таким образом, наименьший диаметр круглого бревна должен быть $10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

203. Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечным сечением которого является квадрат со стороной 14 см?

Для того чтобы из круглого бревна выпилить брус с квадратным поперечным сечением, этот квадрат должен быть вписан в окружность поперечного сечения бревна. Наименьший диаметр бревна, который позволит это сделать, соответствует случаю, когда вершины квадрата лежат на окружности.

В этом случае диаметр окружности (и, соответственно, бревна) будет равен диагонали квадрата.

Обозначим сторону квадрата как $a$, а его диагональ как $d$. По условию задачи, сторона квадрата $a = 14$ см.

Диагональ квадрата можно найти, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному двумя сторонами квадрата (катеты) и его диагональю (гипотенуза).

Формула для диагонали квадрата:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь подставим известное значение стороны квадрата $a = 14$ см в формулу:

$d = 14\sqrt{2}$ см

Следовательно, наименьший диаметр бревна должен быть равен $14\sqrt{2}$ см.

Ответ: $14\sqrt{2}$ см.

204. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого на 36° больше его центрального угла?

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника.

Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника $(\alpha_n)$ вычисляется по формуле: $ \alpha_n = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n} $

Величина центрального угла правильного $n$-угольника $(\beta_n)$ вычисляется по формуле: $ \beta_n = \frac{360^\circ}{n} $

Согласно условию задачи, внутренний угол на $36^\circ$ больше центрального. Это можно выразить уравнением: $ \alpha_n = \beta_n + 36^\circ $

Подставим в это уравнение формулы для углов: $ \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n} = \frac{360^\circ}{n} + 36^\circ $

Для решения уравнения умножим обе его части на $n$ (так как количество сторон $n$ не может быть равно нулю): $ 180^\circ \cdot (n-2) = 360^\circ + 36^\circ \cdot n $

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно $n$: $ 180^\circ n - 360^\circ = 360^\circ + 36^\circ n $

Сгруппируем слагаемые с переменной $n$ в левой части, а постоянные — в правой: $ 180^\circ n - 36^\circ n = 360^\circ + 360^\circ $

Упростим обе части уравнения: $ 144^\circ n = 720^\circ $

Найдем $n$: $ n = \frac{720^\circ}{144^\circ} $ $ n = 5 $

Следовательно, правильный многоугольник имеет 5 сторон.

Ответ: 5.

205. Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касания этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен $20^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника.

Рассмотрим две соседние стороны многоугольника, пересекающиеся в вершине $A$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $K_1$ и $K_2$ — точки касания этой окружности с данными сторонами. Тогда $OK_1$ и $OK_2$ — это радиусы вписанной окружности.

По условию задачи, угол между этими радиусами равен $20^{\circ}$, то есть $\angle K_1OK_2 = 20^{\circ}$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK_1 \perp AK_1$ и $OK_2 \perp AK_2$. Это означает, что углы $\angle OK_1A$ и $\angle OK_2A$ прямые: $\angle OK_1A = 90^{\circ}$ $\angle OK_2A = 90^{\circ}$

Рассмотрим четырёхугольник $OK_1AK_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^{\circ}$. Угол $\angle K_1AK_2$ этого четырёхугольника является внутренним углом $\alpha$ правильного многоугольника.

Сумма углов четырёхугольника $OK_1AK_2$ равна: $\angle K_1AK_2 + \angle OK_1A + \angle K_1OK_2 + \angle OK_2A = 360^{\circ}$

Подставим известные значения: $\alpha + 90^{\circ} + 20^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ $\alpha + 200^{\circ} = 360^{\circ}$ $\alpha = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$

Таким образом, внутренний угол правильного многоугольника равен $160^{\circ}$. Внешний угол правильного многоугольника является смежным с внутренним, поэтому он равен $180^{\circ} - \alpha$.

Внешний угол $= 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$. Для правильного $n$-угольника все $n$ внешних углов равны. Следовательно, количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^{\circ}$ на величину одного внешнего угла: $n = \frac{360^{\circ}}{\text{внешний угол}} = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18$

Следовательно, у многоугольника 18 сторон.

Ответ: 18

206. Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

Пусть дан правильный пятиугольник ABCDE. Требуется доказать, что все его диагонали равны между собой.

По определению, правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. Таким образом, для пятиугольника ABCDE имеем:

$AB = BC = CD = DE = EA$

$\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = \angle EAB$

Доказательство проведем путем сравнения треугольников, образованных сторонами и диагоналями пятиугольника.

1. Докажем, что диагональ AC равна диагонали BD.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$. Сравним их элементы:
- Сторона $AB$ равна стороне $CD$ (как стороны правильного пятиугольника).
- Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ABC$ равен углу $\angle BCD$ (как углы правильного пятиугольника).

Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае сторона $AC$ из $\triangle ABC$ соответствует стороне $BD$ из $\triangle BCD$. Таким образом, $AC = BD$.

2. Докажем, что диагональ BD равна диагонали CE.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$. Сравним их элементы:
- Сторона $BC$ равна стороне $CD$ (как стороны правильного пятиугольника).
- Сторона $CD$ равна стороне $DE$ (как стороны правильного пятиугольника).
- Угол $\angle BCD$ равен углу $\angle CDE$ (как углы правильного пятиугольника).

Следовательно, треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$ также равны по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответствующих сторон: $BD = CE$.

3. Заключение.

Мы уже показали, что $AC = BD$ и $BD = CE$. Продолжая эту логику, можно рассмотреть следующие пары треугольников:

- $\triangle CDE \cong \triangle DEA$ (по сторонам $CD=DE$, $DE=EA$ и углу $\angle CDE = \angle DEA$), откуда следует, что $CE = DA$.

- $\triangle DEA \cong \triangle EAB$ (по сторонам $DE=EA$, $EA=AB$ и углу $\angle DEA = \angle EAB$), откуда следует, что $DA = EB$.

Таким образом, мы получили цепочку равенств для всех диагоналей пятиугольника:

$AC = BD = CE = DA = EB$

Это доказывает, что все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все диагонали правильного пятиугольника равны.

207. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

Рассмотрим правильный пятиугольник, обозначив его вершины последовательно буквами A, B, C, D, E. В правильном пятиугольнике все стороны равны и все внутренние углы равны.

Сначала найдем величину внутреннего угла правильного пятиугольника. Формула для внутреннего угла правильного n-угольника: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $. При $n=5$ получаем: $ \alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ $. Таким образом, $ \angle EAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = 108^\circ $.

Докажем для примера, что диагональ CE параллельна стороне AB. Для этого воспользуемся признаком параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. В нашем случае прямые — это CE и AB, а в качестве секущей рассмотрим прямую AE.

Нам нужно доказать, что $ \angle EAB + \angle CEA = 180^\circ $.

Угол $ \angle EAB $ является внутренним углом пятиугольника, поэтому $ \angle EAB = 108^\circ $.

Теперь найдем величину угла $ \angle CEA $. Рассмотрим треугольник CDE. Поскольку пятиугольник ABCDE правильный, его стороны равны, в частности $CD = DE$. Следовательно, треугольник CDE — равнобедренный. Угол при его вершине $ \angle CDE $ равен $108^\circ$. Углы при основании равны между собой: $ \angle DCE = \angle DEC = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $.

Полный внутренний угол при вершине E пятиугольника $ \angle DEA = 108^\circ $. Он состоит из двух углов: $ \angle DEA = \angle DEC + \angle CEA $. Мы можем выразить отсюда $ \angle CEA $: $ \angle CEA = \angle DEA - \angle DEC = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ $.

Теперь найдем сумму внутренних односторонних углов при секущей AE: $ \angle EAB + \angle CEA = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ $.

Так как сумма этих углов равна $180^\circ$, то прямые CE и AB параллельны ($CE \parallel AB$).

Выбор диагонали CE и стороны AB был произвольным. В силу симметрии правильного пятиугольника, аналогичное доказательство можно провести для любой другой диагонали. Каждая диагональ будет параллельна той стороне, с которой она не имеет общих вершин. Например, диагональ AD параллельна стороне BC, диагональ BE параллельна стороне CD и так далее.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

208. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат:

1) по разные стороны от хорды;

2) по одну сторону от хорды.

Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — две пересекающиеся окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R_1$ и $R_2$ соответственно. Их общая хорда $AB$ имеет длину $a$.

В первой окружности $\omega_1$ хорда $AB$ является стороной вписанного правильного треугольника. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R_1$, выражается формулой $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда находим радиус первой окружности:

$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Во второй окружности $\omega_2$ хорда $AB$ является стороной вписанного квадрата. Длина стороны квадрата, вписанного в окружность радиуса $R_2$, выражается формулой $a = R_2\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус второй окружности:

$R_2 = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Линия, соединяющая центры окружностей $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит её пополам. Пусть $M$ — точка пересечения $O_1O_2$ и $AB$. Тогда $M$ — середина $AB$, и $AM = \frac{a}{2}$. Расстояние между центрами $O_1O_2$ складывается из расстояний от каждого центра до хорды $AB$ ($d_1 = O_1M$ и $d_2 = O_2M$) или равно их разности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. По теореме Пифагора:

$O_1M^2 = R_1^2 - AM^2$

$d_1^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{9} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$

$d_1 = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. По теореме Пифагора:

$O_2M^2 = R_2^2 - AM^2$

$d_2^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

$d_2 = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$

Теперь рассмотрим два случая расположения центров.

1) по разные стороны от хорды

Если центры окружностей лежат по разные стороны от хорды $AB$, то расстояние между ними равно сумме расстояний от каждого центра до хорды:

$O_1O_2 = d_1 + d_2 = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a}{2} = \frac{a\sqrt{3} + 3a}{6} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$

Ответ: $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{6}$

2) по одну сторону от хорды

Если центры окружностей лежат по одну сторону от хорды $AB$, то расстояние между ними равно разности расстояний от каждого центра до хорды. Сравним $d_1$ и $d_2$: $d_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6} \approx \frac{1.732a}{6} \approx 0.289a$, а $d_2 = \frac{a}{2} = 0.5a$. Так как $d_2 > d_1$, расстояние между центрами равно:

$O_1O_2 = d_2 - d_1 = \frac{a}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{3a - a\sqrt{3}}{6} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$

Ответ: $\frac{a(3 - \sqrt{3})}{6}$

209. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат:

1) по разные стороны от хорды;

2) по одну сторону от хорды.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, а $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности. $AB$ — их общая хорда, и по условию $AB = a$.

1. Найдем радиус первой окружности. В эту окружность вписан правильный треугольник со стороной $a$. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с ее радиусом $R_1$ формулой $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда, $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдем радиус второй окружности. В эту окружность вписан правильный шестиугольник со стороной $a$. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу $R_2$. Следовательно, $R_2 = a$.

3. Линия, соединяющая центры окружностей $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и пересекает ее в середине, точке $M$. Расстояние между центрами $O_1O_2$ можно найти через расстояния от каждого центра до хорды ($d_1 = O_1M$ и $d_2 = O_2M$).

Найдем $d_1 = O_1M$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Гипотенуза $O_1A = R_1 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, катет $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $O_1M^2 = R_1^2 - AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{9} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$. $d_1 = O_1M = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Найдем $d_2 = O_2M$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. Гипотенуза $O_2A = R_2 = a$, катет $AM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $O_2M^2 = R_2^2 - AM^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$. $d_2 = O_2M = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим два случая расположения центров.

1) по разные стороны от хорды

Если центры лежат по разные стороны от хорды, то расстояние между ними равно сумме расстояний от каждого центра до хорды. $O_1O_2 = d_1 + d_2 = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3} + 3a\sqrt{3}}{6} = \frac{4a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

2) по одну сторону от хорды

Если центры лежат по одну сторону от хорды, то расстояние между ними равно модулю разности расстояний от каждого центра до хорды. $O_1O_2 = |d_2 - d_1| = \left|\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right| = \frac{3a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

210. В окружность вписан правильный треугольник, и около неё описан правильный треугольник. Найдите отношение сторон этих треугольников.

Пусть радиус данной окружности равен $R$. Обозначим сторону вписанного в нее правильного треугольника как $a_{вп}$, а сторону описанного около нее правильного треугольника как $a_{оп}$.

Для вписанного треугольника данная окружность является описанной. Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R_{о}$ соотношением $a = R_{о}\sqrt{3}$. В нашем случае:
$a_{вп} = R\sqrt{3}$.

Для описанного треугольника та же окружность является вписанной. Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом вписанной окружности $r_{в}$ соотношением $a = 2r_{в}\sqrt{3}$. В нашем случае $r_{в} = R$:
$a_{оп} = 2R\sqrt{3}$.

Теперь найдем отношение сторон этих треугольников (стороны вписанного к стороне описанного):
$\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R\sqrt{3}}{2R\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, отношение сторон равно 1:2.
Ответ: 1:2.

211. В окружность вписан правильный шестиугольник, и около неё описан правильный шестиугольник. Найдите отношение сторон этих шестиугольников.

Пусть $R$ — радиус окружности. Обозначим сторону вписанного в окружность правильного шестиугольника как $a_{вп}$, а сторону описанного около нее правильного шестиугольника — как $a_{оп}$.

Сначала найдем длину стороны вписанного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Это следует из того, что, соединив вершины шестиугольника с центром окружности, мы получим шесть равносторонних треугольников, сторонами которых являются радиусы и сама сторона шестиугольника. Таким образом, $a_{вп} = R$.

Теперь найдем длину стороны описанного шестиугольника. Для правильного многоугольника, описанного около окружности, радиус этой окружности является его апофемой (длиной перпендикуляра, опущенного из центра на сторону).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $R$, половиной стороны описанного шестиугольника ($\frac{a_{оп}}{2}$) и отрезком, соединяющим центр с вершиной шестиугольника. Угол в этом треугольнике, противолежащий катету $\frac{a_{оп}}{2}$, равен половине центрального угла, соответствующего стороне шестиугольника, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{360^\circ}{6} = 30^\circ$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует: $\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a_{оп}/2}{R}$.
Отсюда можем выразить $a_{оп}$: $a_{оп} = 2R \cdot \tan(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Наконец, найдем отношение сторон этих шестиугольников. Найдем отношение стороны вписанного шестиугольника к стороне описанного: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.